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Wachstumsfunktion

Das Wachstums- oder Zerfallsgesetz lautet allgemein:

$ N(t)=N_0\cdot{}q^t $

wobei $ N_0 $ der Bestand zu Beginn der Betrachtung (t=0) ist und q(>1) der Wachstums- bzw. (0<q<1) der Zerfallsfaktor ist.

Für die Halbwertszeit T gilt nun:

$ \bruch{1}{2}\cdot{}N_0=N_0\cdot{}q^T $ (nach T Jahren haben wir noch einen Bestand von $ N(T)=\bruch{1}{2}\cdot{}N_0 $)


Beispiel

Die Zeitspanne, in der die Hälfte eines radioaktiven Stoffes zerfällt, heißt Halbwertszeit. Das Kohlenstoff-Isotop $ C^{14} $ hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren.
Stelle das Zerfallsgesetz auf.
Wieviel Prozent einer vorhandenen Stoffmenge zerfällt jeweils in 100 Jahren?

Hier setze ich nun T=5730 ein und erhalte (nach Kürzen von $ N_0 $):

$ \bruch{1}{2}=q^{5730} $ (auf beiden Seiten $ (\ldots)^\bruch{1}{5730} $)
$ \gdw\ q=\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{1}{5730}} $

Das ist nun ein Wert, den ihr mit dem Taschenrechner ausrechnen könnt.

Das Zerfallsgesetz lautet jetzt:

$ N(t)=N_0\cdot{}\left(\blue{\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{1}{5730}}}\right)^t $ (das sieht kompliziert aus, ich habe aber keine Lust, den blauen Ausdruck mit dem TR auszurechnen ;-))

Der Bestand nach 100 Jahren berechnet sich jedenfalls durch Einsetzen des Zeitpunktes t=100 in das Zerfallsgesetz:

$ N(100)=N_0\cdot{}\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{1}{5730}}\right)^{100} $

Hier muß ich wohl doch mal den TR bemühen und erhalte:

$ N(100)=N_0\cdot{}0{,}988 $

Diese bedeutet aber gerade:

Nach 100 Jahren beträgt der Bestand das 0,988-fache des Anfangsbestandes, in Prozenten: Nach 100 Jahren ist immer noch 98,8% des Anfangsbestandes vorhanden, nach 100 Jahren zerfällt also 1,2%.

Nun war aber nicht nur danach gefragt, wieviel Prozent im 100. Jahr zerfallen ist, sondern wie viel Prozent innerhalb beliebiger 100 Jahre --z.B. zwischen dem 2000. und 2100. Jahr-- zerfällt; bei einem exponentiellen Zerfall zerfällt aber über immer in derselben Zeitspanne derselbe prozentuale Anteil der Menge, d.h. für diese Aufgabe:
Während 100 Jahren zerfällt 1,2% des Isotops.

Erstellt: Mo 10.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Mo 10.01.2005 um 18:29 von informix
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