halbmetrischer Raum

Definition Halbmetrischer Raum

Es sei X eine nichtleere Menge und es sei eine Funktion. d heißt Halbmetrik (auf X), falls folgende Bedingungen gelten:

d.1) Es gilt d(x,x)=0 für alle .

d.2) Es gilt d(x,y)=d(y,x) für alle . (Symmetrie)

d.3) Es gilt für alle . (Dreiecksungleichung)

Das Paar (X,d) heißt dann halbmetrischer Raum.

Bemerkungen.

1.) Bei d.1) wird oft zusätzlich für alle gefordert. Wir werden aber zeigen, dass darauf verzichtet werden kann, denn:
Nach d.1) (obige Bedingung!) gilt für alle :
,
woraus dann () folgt.   

2.) Der Unterschied eines halbmetrischen Raumes zu einem metrischen Raum liegt darin, dass es in einem halbmetrischen Raum Elemente geben kann mit , für die aber d(x,y)=0 gilt. Deswegen sind in einem halbmetrischen Raum die Grenzwerte einer Folge i.A. nicht eindeutig.