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neutrales_Element

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neutrales Element

Definition neutrales Element

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Es sei $(H, \circ)$ eine Halbgruppe. $e \in H$ heißt linksneutrales (bzw. rechtsneutrales) Element von (bzgl. $\circ$ ), wenn

$e \circ a = a$ (bzw. $a \circ e=a$ )

für alle $a \in H$ gilt.

Ein zugleich links- und rechtsneutrales Element heißt neutral.

Beispiele

(1) In $(\IZ,+)$ , $(\IZ,\cdot)$ , $(\IZ_n,\cdot)$ , $(P(X),\cap)$ , $(P(X),\cup)$ , $(E(X), \circ)$ sind , , $\bar{0}$ , $\bar{1}$ , , $\emptyset$ , jeweils (in gleicher Reihenfolge) neutral.

(2) In

$H=\left\{ \pmat{a & b \\ 0 & 0 } \, \vert \, a,b\in \IR \right\}$ ,

versehen mit der Matrixmultiplikation, ist $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$ linksneutral, aber nicht rechtsneutral.

(3) Wenn man in einer beliebigen Menge $M \ne \emptyset$ eine Verknüpfung $\circ$ durch $x \circ y=y$ (für alle $x,y \in M$ ) definiert, dann ist $(M,\circ)$ eine Halbgruppe, in der jedes Element linksneutral ist. Hat mehr als ein Element, dann gibt es in kein rechtsneutrales Element.

Quelle: isbn3446130799

Erstellt: So 31.07.2005 von Stefan

Letzte Änderung: Mo 08.08.2005 um 20:24 von Marc

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