Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Di 05.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Seien [mm] (a_n), (b_n) [/mm] reelle Zahlenfolgen, so dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{b_n} \not=0 [/mm] existiere. Zeige, dass gilt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert absolut <=> [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] konvergiert absolut. |
Ich weiß, dass ich zwei Richtungen zeigen muss.
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Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] absolut konvergent und sei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{b_n} \not=0
[/mm]
D.h. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_n| [/mm] konvergiert und [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
stimmt das soweit? Ich habe hier aber keine wirkliche Idee, wie ich weitermachen soll...
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Hallo,
> Seien [mm](a_n), (b_n)[/mm] reelle Zahlenfolgen, so dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{b_n} \not=0[/mm]
> existiere. Zeige, dass gilt: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm]
> konvergiert absolut <=> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm]
> konvergiert absolut.
Sei [mm] c:=\limes_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_n}{b_n}\right|>0.
[/mm]
Es gilt für [mm] $n\ge [/mm] N$, dass [mm] \left|\bruch{a_n}{b_n}\right|
Überlege dir damit, wie die absolute Konvergenz von [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] aus der absoluten Konvergenz von [mm] $\sum_n b_n$ [/mm] folgt.
Die andere Richtung geht analog.
LG
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Hi,
Ich hab hier mal noch eine Frage.
Wenn man die abs. konv. von [mm] \summe [/mm] an aus der abs. konv von [mm] \summe [/mm] bn
folgert benutzt man ja das Majoranten-Kriterium.
Aber wie bekommt man das bei der Gegenrichtung hin ?
Gruß
ConstantinJ
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Hiho,
na analog gibt es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] so dass für [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\bruch{c}{2} \le \bruch{|a_n|}{|b_n|}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> Ich hab hier mal noch eine Frage.
>
> Wenn man die abs. konv. von [mm]\summe[/mm] an aus der abs. konv von
> [mm]\summe[/mm] bn
> folgert benutzt man ja das Majoranten-Kriterium.
>
> Aber wie bekommt man das bei der Gegenrichtung hin ?
ich würde beides "zusammenpacken":
Wenn [mm] $c=\lim_{n \to \infty}(a_n/b_n) \not=0$ [/mm] ist, dann setze man [mm] $\epsilon:=|c|/2 [/mm] > $ und erkennt, dass es ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] so geben muss, dass
[mm] $$\frac{1}{2}|c| \le |a_n/b_n| \le \frac{3}{2}|c|$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ ist.
(Denn [mm] $(|a_n/b_n|)_n$ [/mm] strebt dann gegen [mm] $|c|\,.$)
[/mm]
Weil die Konvergenz einer Reihe nicht von endlich vielen Summanden abhängt, folgt der Rest dann durch Restgliedbetrachtung.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo rollroll,
> Seien [mm](a_n), (b_n)[/mm] reelle Zahlenfolgen, so dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{b_n} \not=0[/mm]
> existiere. Zeige, dass gilt: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm]
> konvergiert absolut <=> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm]
> konvergiert absolut.
nachdem Du das nun beweißt/bewiesen hast(?):
Der Satz hätte Dir auch
hier
geholfen! (Es ist nicht ganz der gleiche Satz wie der, den ich dort "zitiert" hatte!)
Gruß,
Marcel
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