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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mi 04.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein reeles Fundamentalsystem für die Differentialgleichung
[mm] y^{(6)}+2*y^{(3)}+y=0
[/mm]
Hinweis: DAs Charakteristische Polynom hat 4 komplexe Nullstellen. |
Hi,
ich habe bei der Aufgabe folgendes problem.
Als char. Polynom habe ich: [mm] \lambda^{6}+2*\lambda^{3}+1=0 [/mm]
bestimmt.
Nun muss ich doch die Nullstellen des Polynomes bestimmen, da ja alle [mm] P(\lambda)=0 [/mm] lösungen des fundamentalsystems sind (zumindest sowas schwebt mir gerade noch im Hinterkopf)
Aber welchen Ansatz muss ich dort nun wählen? und vorallem wieso?
Mit ausprobieren komme ich auf [mm] \lambda1=-1
[/mm]
und dann mit [mm] (\lambda^{6}+2*\lambda^{3}+1)/(\lambda+1)=\lambda^{5}-\lambda^{4}+\lambda^{3}+\lambda^{2}-\lambda+1
[/mm]
Oder setzt man da völlig anders an?
gruß sav
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mi 04.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. [mm] \lambda [/mm] = -1 ist doppelte Nullstelle
2. Setze z = [mm] \lambda^3
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 04.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
ahh also würde sich darausmit [mm] z=\lambda^{3}
[/mm]
[mm] z^{2}+2*z+1=(z+1)^{2}
[/mm]
ergeben. dann die NS bestimmen und Rücksubstituieren.
z=-1
[mm] \lambda^{3}=-1
[/mm]
also ist [mm] \lambda=\wurzel[3]{-1}
[/mm]
und nun die komplexen NS bestimmen? Uff wenn ich mich daran noch erinnern könnte.
Wenn es nicht klappen sollte meld ich mich nochmal! =))
Danke schonmal für die Tipps!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 04.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
so recht will es nicht klappen mit den Nullstellen! :/
[mm] z^{n}=a_0*e^{i*\alpha}
[/mm]
nun habe ich die n=3
aber wie wende ich das nun an? ich stehe gerade aufem schlauch! :/
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Hallo!
> so recht will es nicht klappen mit den Nullstellen! :/
>
> [mm]z^{n}=a_0*e^{i*\alpha}[/mm]
>
> nun habe ich die n=3
>
> aber wie wende ich das nun an? ich stehe gerade aufem
> schlauch! :/
Also wir suchen [mm] \lambda^3=-1
[/mm]
z=-1 [mm] \to [/mm] r=1 und [mm] \phi=\frac{3\pi}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z=e^{i*\left( \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)}=1\cdot\left( \cos\left( \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right)
[/mm]
Um nun die 3.Wurzel aus $z$ zu ziehen, musst du aus dem Radius die dritte Wurzel ziehen und das Argument durch 3 teilen, für k=0,1,2.
Siehe auch: https://matheraum.de/wissen/Moivre-Formel
Gruß Patrick
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> ahh also würde sich darausmit [mm]z=\lambda^{3}[/mm]
>
> [mm]z^{2}+2*z+1=(z+1)^{2}[/mm]
>
> ergeben. dann die NS bestimmen und Rücksubstituieren.
>
> z=-1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\lambda^{3}=-1[/mm]
Beachte, dass es alles doppelte Nullstellen sind.
>
> also ist [mm]\lambda=\wurzel[3]{-1}[/mm]
>
> und nun die komplexen NS bestimmen? Uff wenn ich mich daran
> noch erinnern könnte.
> Wenn es nicht klappen sollte meld ich mich nochmal! =))
---> Siehe andere Antwort.
>
> Danke schonmal für die Tipps!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 08.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
wunderbar, danke habs endlich verstanden!=)
Aber eine Sache frage ich mich noch und zwar:
Wann kann ich denn ein Fundamentalsystem mit dem Reduktionsansatz bilden und wann mit Hilfe eines Charakteristischen Polynoms?
Darf bei dem Ansatz Charakteristischen Polynom keine Störfunktion in der DGL auftauchen sprich homogene DGL oder wie kann entscheiden welchen Ansatz ich wähle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mo 09.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit Hilfe des char. Polynoms kannst Du (nur) ein Fundamentalsystem einer homogenen linearen DGL mit konstanten Koeff. bestimmen
FRED
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