DGLs umformen,Parametrisierung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Komodo |
Hallo,
ich schreibe am nächsten Montag meine Problemklausur in Mathe II. Habe soweit alles mehr oder weniger drauf was ich brauche, jedoch einiges wofür ich noch nicht einmal einen Ansatz habe.
[img]1.jpg[url=1]
Aufgabe 1 ist eine davon. Ich weiß absolut nicht wie man so etwas umformt. Die Bücher die ich durchgegangen bin behandeln die Umformung gar nicht. Augenscheinlich aus dem Grunde, weil es sich nur um Verständnis handelt. Es gibt ansonsten kaum einen Grund die Umformung zu machen(?).
[img]3.jpg[url=1]
Aufgabe 2 zeigt den umgekehrten Fall.
Ist es hier richtig so anzufangen:
0= [mm] -y'+2y_{1}+y_{2}+1
[/mm]
und
0= [mm] -y'+y_{1}+2y_{2}+1
[/mm]
?
Wenn der Ansatz absolute Sülze darstellt, dann einfach niedermachen :)
Jemand meinte auch zu mir, dass man das mit EW und EV lösen muss.
Die EW wären bei mir [mm] \lambda_{1} [/mm] = -5 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
weiß allerdings nicht ob dieser Ansatz irgendwohin führt, daher würde ich mich gerne absichern bevor ich das letzte bißchen Verstand verliere was mir noch bleibt.
[img]2.jpg[url=1]
Bei der dritten Aufgabe fehlt auch jeglicher Ansatz :/
Ich wäre für JEDEN ernstgemeinten Tipp dankbar.
Bitte versucht dabei rücksicht darauf zu nehmen, dass hier jemand sitzt, den die Mathematik nicht sonderlich mag. Ja, nicht andersherum!
Idiotensichere Tipps sind also immer gerne gesehen :)
Über kommentierte Beispiele wäre ich natürlich ebenfalls dankbar, aber kann es verstehen wenn die Zeit dazu fehlt.
Gruß Komodo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Komodo,
> Hallo,
>
> ich schreibe am nächsten Montag meine Problemklausur in
> Mathe II. Habe soweit alles mehr oder weniger drauf was ich
> brauche, jedoch einiges wofür ich noch nicht einmal einen
> Ansatz habe.
>
> [img]1.jpg[url=1]
> Aufgabe 1 ist eine davon. Ich weiß absolut nicht wie man so etwas umformt. Die Bücher die ich durchgegangen bin behandeln die Umformung gar nicht. Augenscheinlich aus dem Grunde, weil es sich nur um Verständnis handelt. Es gibt ansonsten kaum einen Grund die Umformung zu machen(?).
Hier geht es offensichtlich darum,
eine DGL 2. Ordnung in ein DGL-System 1. Ordnung zu überführen.
Führe hierzu zwei neue Variablen ein:
[mm]y_{1}=y[/mm]
[mm]y_{2}=y'=y_{1}'[/mm]
Dann schreibt sich die DGL 2. Ordnung
[mm]y''-4*y=0[/mm]
als System 1. Ordnung wie folgt:
[mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=\pmat{0 & 1 \\ 4 & 0}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> [img]3.jpg[url=1]
> Aufgabe 2 zeigt den umgekehrten Fall.
> Ist es hier richtig so anzufangen:
>
> 0= [mm]-y'+2y_{1}+y_{2}+1[/mm]
> und
> 0= [mm]-y'+y_{1}+2y_{2}+1[/mm]
> ?
Die Gleichungen lauten hier so:
[mm]0=-y_{\red{1}}'+2y_{1}+y_{2}+1[/mm]
[mm]0=-y_{\red{2}}'+y_{1}+2y_{2}+\red{2}[/mm]
> Wenn der Ansatz absolute Sülze darstellt, dann einfach niedermachen :)
> Jemand meinte auch zu mir, dass man das mit EW und EV lösen muss.
>
> Die EW wären bei mir [mm]\lambda_{1}[/mm] = -5 , [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
> weiß allerdings nicht ob dieser Ansatz irgendwohin führt, daher würde ich mich gerne absichern bevor ich das letzte bißchen Verstand verliere was mir noch bleibt.
Nun, jetzt mußt Du die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten bestimmen.
Eigenvektoren bestimmt man aus dem Gleichungssystem
[mm]\pmat{2-\lambda_{i} & 1 \\ 1 & 2-\lambda_{i}}*x=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Für [mm]\lambda_{i}[/mm] sind hier die Eigenwerte einzusetzen.
Ist [mm]x_{1}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}[/mm]
und [mm]x_{2}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm],
dann ergibt sich die Lösung des homogenen DGL-Systems zu
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2}}=C_{1}*x_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*x_{2}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm]
wobei hier [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] Konstanten sind.
Natürlich kannst Da auch aus der Gleichung
[mm]0=-y_{1}'+2y_{1}+y_{2}+1[/mm]
nach [mm]y_{2}[/mm] umformen, und in die Gleichung
[mm]0=-y_{2}'+y_{1}+2y_{2}+2[/mm]
einsetzen.
Dann erhältst Du eine DGL 2. Ordnung.
>
> [img]2.jpg[url=1]
> Bei der dritten Aufgabe fehlt auch jeglicher Ansatz :/
>
>
> Ich wäre für JEDEN ernstgemeinten Tipp dankbar.
> Bitte versucht dabei rücksicht darauf zu nehmen, dass hier jemand sitzt, den die Mathematik nicht sonderlich mag. Ja, nicht andersherum!
> Idiotensichere Tipps sind also immer gerne gesehen :)
> Über kommentierte Beispiele wäre ich natürlich ebenfalls dankbar, aber kann es verstehen wenn die Zeit dazu fehlt.
>
> Gruß Komodo
>
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Komodo |
Wow, vielen Dank!!
Wenn man das so strukturiert erklärt bekommt, dann haut es einen fast vom Hocker.
Werde die Aufgabe jetzt noch einmal machen, und denke es wird keine Probleme mehr geben :)
(Die Frage lasse ich wegen der dritten Aufgabe dennoch erst einmal als unbeantwortet)
Danke nochmal.
Gruß Komodo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 01.10.2009 | | Autor: | Komodo |
Hallo nochmal,
zu Aufgabe 1:
habe versucht die erste Aufgabe nachzuvollziehen, aber irgendwie verstehe ich das nicht ganz.
Das das Einführen der Variablen sein muss ist mir klar, wie ich das aber dann genau in die Matrix eintrage ist mir schleierhaft.
Wäre es möglich mir das etwas genauer zu erklären?
Am besten an einem neuen Beispiel:
y''-4y'+5=0
Ich stelle mich vielleicht ziemlich dumm an, aber ich würde nicht fragen wenn ich es nicht versucht hätte :/
Zur Aufgabe 2:
Das ist ja super, so wäre ich auch vorgegangen!
Nebenbei: habe mich bei den EW vertan, die müssten
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -3
Um die EV dazu zu bestimmen habe ich auch die Gleichung anwenden wollen: (A- [mm] \lambda [/mm] E)x=0 .
Das Problem hierbei ist, dass ich für die EV [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] immer 0 rausbekomme. Das kann doch nicht richtig sein, oder? :/
zu b) mir ist jetzt aufgefallen, dass bei b) nach den Lösungen für die INHOMOGENE Gleichung gefragt ist. Wie wird denn aus der Gleichung plötzlich eine inhomogene?
Ich weiß wie man dann weiterrechnet, aber wie soll da auf einmal eine inhomogene rauskommen?
Ich weiß wieder eine Menge Fragen, aber hoffe dennoch dass jemand einige Antworten hat.
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Hallo Komodo,
> Hallo nochmal,
>
> zu Aufgabe 1:
>
> habe versucht die erste Aufgabe nachzuvollziehen, aber
> irgendwie verstehe ich das nicht ganz.
> Das das Einführen der Variablen sein muss ist mir klar,
> wie ich das aber dann genau in die Matrix eintrage ist mir
> schleierhaft.
> Wäre es möglich mir das etwas genauer zu erklären?
>
> Am besten an einem neuen Beispiel:
> y''-4y'+5=0
> Ich stelle mich vielleicht ziemlich dumm an, aber ich
> würde nicht fragen wenn ich es nicht versucht hätte :/
Dann poste doch hier Deine Versuche.
>
> Zur Aufgabe 2:
>
> Das ist ja super, so wäre ich auch vorgegangen!
> Nebenbei: habe mich bei den EW vertan, die müssten
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = -3
>
> Um die EV dazu zu bestimmen habe ich auch die Gleichung
> anwenden wollen: [mm](A-\lambdaE)x=0[/mm] .
> Das Problem hierbei ist, dass ich für die EV [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] immer 0 rausbekomme. Das kann doch nicht richtig
> sein, oder? :/
Da hast Du recht.
Poste auch hier Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> zu b) mir ist jetzt aufgefallen, dass bei b) nach den
> Lösungen für die INHOMOGENE Gleichung gefragt ist. Wie
> wird denn aus der Gleichung plötzlich eine inhomogene?
> Ich weiß wie man dann weiterrechnet, aber wie soll da auf
> einmal eine inhomogene rauskommen?
>
> Ich weiß wieder eine Menge Fragen, aber hoffe dennoch dass
> jemand einige Antworten hat.
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Do 01.10.2009 | | Autor: | Komodo |
Hallo,
hmm zum ersten Aufgabenteil habe ich versucht auf Dein Ergebnis zu kommen, nicht das 2. Beispiel zu lösen (soweit kann ich noch gar nicht denken):
[mm] \vektor{y'_{1} \\ y'_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 4 & 0 } \vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
Ich sage wie es ist, wie man das so anordnet weiß ich nicht.
Habe die Gleichungen einzeln aufgeschrieben:
y'_{1} = [mm] 0*y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}
[/mm]
y'_{2} = [mm] 4y_{1} [/mm] + [mm] 0*y_{2}
[/mm]
und von den beiden Gleichungen auf die Gleichung 2. Ordnung y''-4Y=0 zu kommen fehlt es mir ja schon am Basiswissen.
Zu Aufgabe 2:
Nun ja, Die Gleichungen wurden wie angegeben angewendet.
Zu den EV:
Beispiel für [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 :
[mm] \pmat{ 2+1 & 1 \\ 1 & 2+1 }*x [/mm] = 0
[mm] \gdw 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
und [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] = 0
damit bekomme ich für diesen und den zweiten EW immer einen EV von 0 heraus. Gibt es da einen Trick?
Gruß Komodo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Do 01.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
Ausgangsgleichungen:
[mm] y_1=y
[/mm]
[mm] y_2=y'=y_1'\qquad \text{diese\ Gleichung\ brauchen\ wir\ gleich\ noch\ einmal}
[/mm]
dann ist
[mm] y_2'=y''
[/mm]
und wenn deine DGL so lautete $y''-4y\ =\ 0$
dann können wir für [mm] y''=y_2' [/mm] einsetzen und für [mm] 4y=4y_1 [/mm] - das ergibt
[mm] y_2'-4*y_1=0\qquad [/mm] etwas umsortiert
[mm] y_2'=4y_1 [/mm] und außerdem haben wir ja noch [mm] y_1'=y_2
[/mm]
Damit lautet das vollständige Gleichungssystem
[mm] y_1'=0*y_1+1*y_2
[/mm]
[mm] y_2'=4*y_1+0*y_2
[/mm]
oder in der Matrixschreibweise
[mm] \pmat{ y_1' \\ y_2' }=\pmat{ 0 & 1 \\ 4 & 0 }*\pmat{ y_1 \\ y_2 }
[/mm]
Lg
Herby
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Hallo Komodo,
> Hallo,
> Zu Aufgabe 2:
>
> Nun ja, Die Gleichungen wurden wie angegeben angewendet.
> Zu den EV:
> Beispiel für [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 :
> [mm]\pmat{ 2+1 & 1 \\ 1 & 2+1 }*x[/mm] = 0
Die Eigenwerte sind Lösungen des charakteristischen Polynoms.
>
> [mm]\gdw 3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
> und [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] = 0
>
> damit bekomme ich für diesen und den zweiten EW immer
> einen EV von 0 heraus. Gibt es da einen Trick?
Folglich dessen ist -1 kein Eigenwert der Matrix [mm]\pmat{2 & 1 \\ 1 & 2}[/mm],
da [mm]\operatorname{det}\left( \ \pmat{3 & 1 \\ 1 & 3}\ \right) \not= 0[/mm].
>
> Gruß Komodo
>
Gruss
MathePower
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Hi komodo,
> Hallo,
>
> ich schreibe am nächsten Montag meine Problemklausur in
> Mathe II. Habe soweit alles mehr oder weniger drauf was ich
> brauche, jedoch einiges wofür ich noch nicht einmal einen
> Ansatz habe.
>
>
> [img]2.jpg[url=1]
> Bei der dritten Aufgabe fehlt auch jeglicher Ansatz :/
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erstmal: wie sieht denn das gebiet D aus? wenn du es nicht durch blosses hinsehen weisst, probiere es aus! nimm dir ein festes r, zb. $r=2$ und teste welche $x,y$ die ungleichung erfuellen. Tip: es ist eine sehr verbreitete geometrische figur... 
Wenn du soweit bist, weisst du auch, wie der rand ausschaut. Falls du nicht weisst, wie du diese kurve parametrisieren kannst, schau zb. bei wikipedia nach.
Bleibt dann die frage, wie kurvenintegrale von vektorfeldern berechnet werden. Auch hier kann ![[]](/images/popup.gif) Wiki helfen.
Frage b) kannst du anhand eines weiteren kurvenintegrals loesen oder aber einfach anhand einer wohlbekannten formel ausrechnen...
gruss
matthias
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> Ich wäre für JEDEN ernstgemeinten Tipp dankbar.
> Bitte versucht dabei rücksicht darauf zu nehmen, dass hier jemand sitzt, den die Mathematik nicht sonderlich mag. Ja, nicht andersherum!
> Idiotensichere Tipps sind also immer gerne gesehen :)
> Über kommentierte Beispiele wäre ich natürlich ebenfalls dankbar, aber kann es verstehen wenn die Zeit dazu fehlt.
>
> Gruß Komodo
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Do 01.10.2009 | | Autor: | Komodo |
Hallo,
hmm, leider hilft mir das nicht allzu sehr. Ich habe den Wiki-Eintrag auch schon gesehen ( und in Büchern auch), allerdings ist das wohl etwas für Leute die wissen worum es geht und nur noch nachschlagen müssen.
Habe trotzdem etwas rumgebastelt:
r=2
Also der Rand müsste so aussehen [mm] \partial [/mm] K=[(x,y): x²+y²=r²]
Für die Parametrisierung: [mm] \gamma(t) [/mm] = (-y+r,-x+r)
Das Integral: 0,5* [mm] \integral_{0}^{2}{\pmat{ x & -r \\ -y & r }, \pmat{ dx \\ dy }}
[/mm]
Danach noch einmal in das Kurvenintegral aus Wiki:
0,5* [mm] \integral_{0}^{2}{f(\gamma(t)), \gamma(punkt)(t)dt}
[/mm]
Als Ergebnis bekomme ich dann [mm] \approx [/mm] 1,5 raus.
(Bitte beachten: Die dreieckigen Klammern für das Skalarprodukt wurden weggelassen - weiß nicht wie der Code dazu ausschaut :( )
Wie gesagt, ich weiß nicht genau wie man so etwas überhaupt angeht. Sind die Grenzen irgendwo richtig? Ist überhaupt etwas richtig? Wenn nein, wie kommt man mit den wenigen Infos auf die Grenzen, und die Parameterdarstellung?
Und ist die Reihenfolge der Integrale richtig?
Hoffe jemand hat ein paar Antworten.
Gruß Komodo
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Hallo,
> Hallo,
>
> hmm, leider hilft mir das nicht allzu sehr. Ich habe den
> Wiki-Eintrag auch schon gesehen ( und in Büchern auch),
> allerdings ist das wohl etwas für Leute die wissen worum
> es geht und nur noch nachschlagen müssen.
> Habe trotzdem etwas rumgebastelt:
> r=2
> Also der Rand müsste so aussehen [mm]\partial[/mm] K=[(x,y):
> x²+y²=r²]
ist dir bewusst, dass es sich um einen kreis mit radius $r$ handelt?
> Für die Parametrisierung: [mm]\gamma(t)[/mm] = (-y+r,-x+r)
nicht wirklich... fuer einen kreis versuche besser [mm] $\gamma(t)=r(\cos t,\sin [/mm] t)$.
> Das Integral: 0,5* [mm]\integral_{0}^{2}{\pmat{ x & -r \\ -y & r }, \pmat{ dx \\ dy }}[/mm]
>
> Danach noch einmal in das Kurvenintegral aus Wiki:
> 0,5* [mm]\integral_{0}^{2}{f(\gamma(t)), \gamma(punkt)(t)dt}[/mm]
>
> Als Ergebnis bekomme ich dann [mm]\approx[/mm] 1,5 raus.
> (Bitte beachten: Die dreieckigen Klammern für das
> Skalarprodukt wurden weggelassen - weiß nicht wie der Code
> dazu ausschaut :( )
>
> Wie gesagt, ich weiß nicht genau wie man so etwas
> überhaupt angeht. Sind die Grenzen irgendwo richtig? Ist
> überhaupt etwas richtig? Wenn nein, wie kommt man mit den
> wenigen Infos auf die Grenzen, und die
> Parameterdarstellung?
> Und ist die Reihenfolge der Integrale richtig?
>
> Hoffe jemand hat ein paar Antworten.
>
> Gruß Komodo
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