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Hi ich habe die Aufgabe die komplexen Zahlen in Polar- und kartesischen Koordinaten anzugeben.
Die Aufgabe ist [mm] (1+\wurzel{3}i)^{6}
[/mm]
Ich habe das so gerechnet:
[mm] =((1+\wurzel{3}i)^{2})^{3}=(-2+2\wurzel{3}i)^{3}=(-8-8\wurzel{3}i)(-2+\wurzel{3}i)
[/mm]
[mm] =16(1+\wurzel{3}i)(1-\wurzel{3}i)=64
[/mm]
bis hier war es ja ganz einfach, nur jetzt habe ich große Probleme.
Jetzt muss ich es in Polarkoordinaten umändern.
Die formeln lauten [mm] z=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] und [mm] arctan\bruch{y}{x} [/mm] und z=x+yi
demnach nehme ich also [mm] arctan\bruch{\wurzel{3}}{1} [/mm] und erhalte 60°.
Dies ist aber falsch, da in der Musterlösung [mm] 64(cos2\pi+isin2\pi) [/mm] steht.
Wie kommen die auf [mm] 2\pi [/mm] ?
Ich sag schon mal Danke und schöne Weihnachten
Mikka
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Hallo Mikka,
> Hi ich habe die Aufgabe die komplexen Zahlen in Polar- und
> kartesischen Koordinaten anzugeben.
>
> Die Aufgabe ist [mm](1+\wurzel{3}i)^{6}[/mm]
>
> Ich habe das so gerechnet:
>
> [mm]=((1+\wurzel{3}i)^{2})^{3}=(-2+2\wurzel{3}i)^{3}=(-8-8\wurzel{3}i)(-2+\wurzel{3}i)[/mm]
>
> [mm]=16(1+\wurzel{3}i)(1-\wurzel{3}i)=64[/mm]
Ja, richtig.
> bis hier war es ja ganz einfach, nur jetzt habe ich große
> Probleme.
> Jetzt muss ich es in Polarkoordinaten umändern.
> Die formeln lauten [mm]z=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] und
> [mm]arctan\bruch{y}{x}[/mm] und z=x+yi
>
> demnach nehme ich also [mm]arctan\bruch{\wurzel{3}}{1}[/mm] und
> erhalte 60°.
Stimmt auch. In Polarkoordinaten schreibt man aber lieber Winkel im Bogenmaß, hier also [mm] \bruch{\pi}{3}.
[/mm]
> Dies ist aber falsch, da in der Musterlösung
> [mm]64(cos2\pi+isin2\pi)[/mm] steht.
> Wie kommen die auf [mm]2\pi[/mm] ?
Na, die erheben das dann in die geforderte 6. Potenz. 
Du kennst doch bestimmt die Moivre-Formel. Und da kommt man dann auf [mm] 6*\bruch{\pi}{3}= [/mm] ?
> Ich sag schon mal Danke und schöne Weihnachten
> Mikka
Ebenso!
lg
reverend
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Cool, hab ich jetzt verstanden. Wie sieht es aber hier aus?
[mm] \bruch{(1+i)^{5}}{(1-i)^{3}}
[/mm]
ich lösen jeweil das obere und unter zu [mm] =\bruch{-2-2i}{-1-i}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2i}{i}=-2
[/mm]
Jetzt hab ich aber nicht z=x+yi. Wie soll ich jetzt phi aus [mm] arctan\bruch{y}{x} [/mm] errechnen. Und mit welcher Potenz multipliziere ich dann?
> Na, die erheben das dann in die geforderte 6. Potenz.
> Und da kommt man dann auf [mm]6*\bruch{\pi}{3}=[/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Also,
aus deiner Gleichung ergibt sich aber nicht [mm] \bruch{-2i}{i}
[/mm]
sondern bekommst du durchs ausrechnen [mm] \bruch{-4-4i}{-2-2i} [/mm] raus
und das kann man ja weiter rechnen zu [mm] \bruch{-2-2i}{-1-1i}
[/mm]
Dieses Ergebnis kannst du dann durch erweitern wiederum ausrechen.
Indem du dann da stehen hast [mm] \bruch{-2-2i}{-1-1i} [/mm] * [mm] \bruch{-1+1i}{-1+1i}
[/mm]
Und dieses kannst du dann ausrechnen und kannst den Winkel bestimmen den du herausbekommen möchtest.
Mfg Alpi
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Hi, ok dann bekomme ich halt nicht -2, sondern 2 heraus. Trotzdem weiß ich dann nicht weiter.
Ich meine, ich habe ja kein z=x+iy. Also kann ich auch nicht denn arctan ausrechnen und somit nicht für cos und sin in r(cos(phi)+isin(phi) einsetzen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Lies dir doch bitte die Erklärung in der zweiten Antwort von mir durch.
Habe diese schon angehängt, da ich Sie beim ersten mal vergessen habe.
Daraus ergibt sich, wie du auf deinen Winkel kommst.
Und damit weißt du dann auch direkt welche Werte du in deine Formel einsetzen musst.
Mfg Alpi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, ok dann bekomme ich halt nicht -2, sondern 2 heraus.
> Trotzdem weiß ich dann nicht weiter.
>
> Ich meine, ich habe ja kein z=x+iy.
Das stimmt ja nicht, du hast $z=2+i*0$, und das kannst du sehr wohl in deinen [mm] $\arctan$ [/mm] einsetzen. Nur der Fall $x=0$ lässt sich so nicht behandeln.
Im Zweifelsfall kannst du auch einfach die Zahl in der komplexen Zahlenebene aufmalen und den Winkel direkt ablesen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Wenn du bei einer Rechnung nur einen Realteil oder Imaginärteil herausbekommen solltest, was aber hier nicht der Fall ist!
Musst du nichts berechnen sondern durch logisches Sehen ergibt sich der Winkel automatisch.
Du hast ja deine 4 Achsen, also eigentlich nur 2 aber halt mit positiven und negativen Bereich.
Dein Realteil liegt immer auf der X-Achse und dein Imaginärteil immer auf der Y-Achse.
Wenn du nun nur einen Realteil rausbekommst musst du aufs Vorzeichen achten.
Dieses Verrät dir dann dir "Richtung"
Bei einem Positiven vorzeichen beträgt der Winkel 0° und bei einem negativen Vorzeichen 180°.
Beim Imaginärteil ist es das gleiche.
Bei einem positiven Vorzeichen sind es 90° und bei einem negativen Vorzeichen 270°.
Ich hoffe das hat dir zusätzlich geholfen.
Mfg Alpi
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