Konvergenz u. Grenzw. zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 15.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine nach oben beschränkte Folge und [mm] b_{n}:=sup( [/mm] { [mm] {a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}} [/mm] } )
Zeigen Sie:
(1): [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist konvergent.
(2): [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_{n})=sup( [/mm] { [mm] a_{n} [/mm] | [mm] n\in\IN [/mm] } ) |
zu (1):
Konvergenz können wir zeigen, indem wir zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt ist und monoton steigend ist.
Hier mein Versuch:
[mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist nach oben beschränkt [mm] \gdw \exists G\in\IR \forall n\in\IN:a_{n}
Wir definieren eine Menge A, die alle Folgenglieder der Folge beinhaltet:
A:= { [mm] a_{n}|n\in\IN [/mm] }
[mm] \forall n\in\IN: a_{n}
[mm] \Rightarrow b_{n} [/mm] ist nach oben beschränkt.
Nun müsste man noch zeigen, dass [mm] b_{n} [/mm] monoton steigend ist. Ich habe mir überlegt, das mit einer Induktion zu zeigen, aber irgendwie will das nichts werden. Stimmt bis jetzt alles? Wie mache ich jetzt am besten weiter? Gibt es einen "einfacheren" Weg dies zu zeigen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 15.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Deine Idee ist richtig. Siehe auch hier.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 15.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Gut, dann schreibe ich mal meine Induktion auf:
I.A.: n=1: [mm] b_{1}=sup( [/mm] { [mm] a_{1} [/mm] } [mm] )=a_{1}\le [/mm] sup( { [mm] a_{1},a_{2} [/mm] } ) Dies ist eine wahre Aussage
Denn wenn [mm] a_{2}>a_{1} [/mm] , dann [mm] a_{1}
I.V.: [mm] b_{n}\le b_{n+1}
[/mm]
I.S.: [mm] n\mapsto(n+1)
[/mm]
[mm] b_{n+1}=sup( [/mm] { [mm] a_{k}|k\le(n+1), k,n\in\IN [/mm] } )=sup( { [mm] a_{k}|k\len\in\IN [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] a_{n+1} [/mm] } [mm] )\ge [/mm] sup( { [mm] a_{k}|k\le [/mm] n, [mm] k,n\in\IN [/mm] } [mm] )=b_{n}
[/mm]
Dies ist so, weil das Supremum sich den größeren der beiden Werte aussucht und er somit natürlich nicht kleiner werden kann, sondern entweder auf dem selben Wert bleibt oder größer wird. Also ist [mm] b_{n} [/mm] in der Tat beschränkt.
Bei Aufgabenteil (2) habe ich (denke ich) Schwachsinn gemacht. Zumindest bin ich mir da sehr unsicher, weil ich noch nie geehen habe, dass jemand auf diese Art und Weise einen Grenzwert berechnet hat...
(2): Aus (1) wissen wir, dass [mm] b_{n} [/mm] konvergiert.
[mm] b_{n}=sup( [/mm] { [mm] a_{k} [/mm] | [mm] k\le [/mm] n, [mm] k,n\in\IN [/mm] } )
Wenn wir nun n gegen unendlich gehen lassen, bedeutet das, dass [mm] k\in\IN [/mm] unbeschränkt groß werden kann und somit jeden beliebigen Wert aus den natürlichen Zahlen annehmen kann. Wir erhalten also:
[mm] b_{n}\to [/mm] sup( { [mm] a_{k} [/mm] | [mm] k\in\IN [/mm] } )=sup( { [mm] a_{n} [/mm] | [mm] n\in\IN [/mm] } )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
wie du siehst hast du eigenlich jebe Induktion gemacht, sonder -richtig-, gleich von sup [mm] a_1...a_n \ge sup(a_1...a_n,a_{n+1}) [/mm] grschlossen und damit die Monotonie von [mm] {b_n} [/mm] gezeigt.
der GW ist auch richtig .
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 16.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Also sollte ich das dann einfach nochmal so machen, nur ohne, dass ich es als Induktion darstelle? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruß leduart
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