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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
1. [mm]
\begin{Vmatrix}
x
\end{Vmatrix}_1 := \summe_{i=1}^{n} \left| x_i \right|
[/mm]
2. [mm]
\begin{Vmatrix}
x
\end{Vmatrix}_\infty := max\left\{ \left| x_i \right| :i=1,...,n\right\}
[/mm]
jeweils eine Norm auf dem [mm]\IR^n[/mm] definiert. |
Moin,
also dass es so ist, weiß ich schon mal 
Hier ist ja denke ich die sg. Vektornorm gemeint, also die Länge eines Vektors.
1. sagt denke ich aus, dass man die Länge jedes einzelnen Vektors aufaddiert, und dann halt dadurch als Summe die Länge des Vektors bekommt.
zu 2. hab ich keine Ahnung, was das überhaupt aussagt.
Und wie zeigt man so etwas dann, bzw. womit?
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 27.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst hier nur zeigen, dass die beiden Definitionen die Bedingungen an eine Norm erfüllen.
Du hast also Veltoren auf dem [mm] \IR^{n}, [/mm] also der form [mm] \vec{x}=\vektor{x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}}
[/mm]
Jetzt zeige, dass die drei im Link genannten Normaxiome gelten.
Marius
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> Hallo
>
> ...
>
> Jetzt zeige, dass die drei im Link genannten Normaxiome
> gelten.
>
> Marius
Ok, für 1. war das nicht weiter schwer, danke für den Link,
aber für 2. tue ich mich mit dem max{...} etwas schwer, darf man hier einfach annehmen, dass bspw.:
[mm]\alpha * max \left\{ x\right\} = max \left\{ \alpha *x\right\}[/mm]
gilt?
An sich müsste ja schon, da mit max ja glaube ich der jeweils größte der Werte ausgewählt wird.
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Hallo nitramGuk,
> > Hallo
> >
> > ...
> >
> > Jetzt zeige, dass die drei im Link genannten Normaxiome
> > gelten.
> >
> > Marius
>
> Ok, für 1. war das nicht weiter schwer, danke für den Link,
> aber für 2. tue ich mich mit dem max{...} etwas schwer,
> darf man hier einfach annehmen, dass bspw.:
> [mm]\alpha * max \left\{ x\right\} = max \left\{ \alpha *x\right\}[/mm]
> gilt?
Hmm, ich glaube, du meinst es annähernd richtig.
Du nimmst dir ein beliebiges [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] her und schaust dir die Maximumnorm von [mm] $\alpha\cdot{}\vec{x}$ [/mm] an, also [mm] $||\alpha\cdot{}\vec{x}||_{\infty}$
[/mm]
Es ist [mm] $\alpha\cdot{}\vec{x}=\vektor{\alpha\cdot{}x_1\\\alpha\cdot{}x_2\\\vdots\\\alpha\cdot{}x_n}$
[/mm]
Die [mm] \infty-Norm [/mm] davon ist definiert als [mm] $\max\limits_{i\in\{1,...,n\}}|\alpha\cdot{}x_i|$
[/mm]
Mit der Rechenregeln für den Betrag ist [mm] $|u\cdot{}v|=|u|\cdot{}|v|$, [/mm] du kannst es also aufspalten, das [mm] $|\alpha|$ [/mm] ist konstant bei jedem der [mm] $x_i$ [/mm] dasselbe, das kannst du also vor das [mm] $\max$ [/mm] ziehen ...
> An sich müsste ja schon, da mit max ja glaube ich der
> jeweils größte der Werte ausgewählt wird.
Genau, und es wird ja "nur" bei jedem der [mm] x_i [/mm] das [mm] $|\alpha|\ge [/mm] 0$ dranmultipliziert ...
LG
schachuzipus
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Moin Moin... also der erste Teil geht noch gut nachzuvollziehen...
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|X_{i}
[/mm]
der Betrag eines Vektors ist ganz einfach nur die Länge eines Vektors.
und das einzige was man da nur berechnen muss ist die Wuzel von der Summe die das Summensymbol symbolisert, wobei die koeffizienten hoch
2 genommen werden...
hört sich fies an, is aber halb so wild...
in einem [mm] R^{n} [/mm] hat man n koeffizenten. das heißt das n oben im Summenzeichen solange addiert man das auf...
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}
[/mm]
--------------------------------
z.B mal nen Vektor aus dem [mm] R^{4}
[/mm]
also 4 Koeffizienten:
a = (1,2,0,-1) [mm] \in R^{4}
[/mm]
das setzt man jetzt nur in die Wuzel ein.. addiert die koeffizienten hoch 2 und fertig is die Norm des [mm] R^{4} [/mm] für DIESEN Vektor.
[mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{1 + 4 + 0 + 1} [/mm] = [mm] \wurzel{6}
[/mm]
ach ja; der Betrag eines Vektors, oder die Norm, nenn es wie du willst... ist nie eine negative Zahl.. is auch logisch wie soll ein Vektor, z.B eine Line (das wäre dann [mm] R^{2} [/mm] eine negative Länge haben nur das die Länge null is, da kann sien, wenn a = 0 ist.
> Zeigen Sie, dass
> 1. [mm]
\begin{Vmatrix}
x
\end{Vmatrix}_1 := \summe_{i=1}^{n} \left| x_i \right|
[/mm]
>
> 2. [mm]
\begin{Vmatrix}
x
\end{Vmatrix}_\infty := max\left\{ \left| x_i \right| :i=1,...,n\right\}
[/mm]
>
> jeweils eine Norm auf dem [mm]\IR^n[/mm] definiert.
> Moin,
> also dass es so ist, weiß ich schon mal
> Hier ist ja denke ich die sg. Vektornorm gemeint, also die
> Länge eines Vektors.
>
> 1. sagt denke ich aus, dass man die Länge jedes einzelnen
> Vektors aufaddiert, und dann halt dadurch als Summe die
> Länge des Vektors bekommt.
>
> zu 2. hab ich keine Ahnung, was das überhaupt aussagt.
>
> Und wie zeigt man so etwas dann, bzw. womit?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo JahSoldier und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Moin Moin... also der erste Teil geht noch gut
> nachzuvollziehen...
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}|X_{i}[/mm]
>
> der Betrag eines Vektors ist ganz einfach nur die Länge
> eines Vektors.
>
> und das einzige was man da nur berechnen muss ist die Wuzel
> von der Summe die das Summensymbol symbolisert, wobei die
> koeffizienten hoch
> 2 genommen werden...
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> hört sich fies an, is aber halb so wild...
>
>
> in einem [mm]R^{n}[/mm] hat man n koeffizenten. das heißt das n oben
> im Summenzeichen solange addiert man das auf...
>
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}[/mm]
Das ist die 2-Norm (euklidische Norm) [mm] $||\vec{x}||_2$.
[/mm]
Was hat die mit den Normen in der Aufgabenstellung zu tun?
>
> --------------------------------
>
> z.B mal nen Vektor aus dem [mm]R^{4}[/mm]
>
> also 4 Koeffizienten:
> a = (1,2,0,-1) [mm]\in R^{4}[/mm]
>
> das setzt man jetzt nur in die Wuzel ein.. addiert die
> koeffizienten hoch 2 und fertig is die Norm des [mm]R^{4}[/mm] für
> DIESEN Vektor.
>
> [mm]\parallel[/mm] a [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{1 + 4 + 0 + 1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{6}[/mm]
>
> ach ja; der Betrag eines Vektors, oder die Norm, nenn es
> wie du willst... ist nie eine negative Zahl.. is auch
> logisch wie soll ein Vektor, z.B eine Line (das wäre dann
> [mm]R^{2}[/mm] eine negative Länge haben nur das die Länge null
> is, da kann sien, wenn a = 0 ist.
In den beiden in der Aufgabenstellung definierten (vermeintlichen) Normen kommt doch weder ein Quadrat noch eine Wurzel vor.
Ich verstehe überhaupt gar nicht, was du da oben gesagt hast, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Vllt. kannst du deine Gedanken mal neu ordnen
In dem Link, den Marius gepostet hat, steht doch genau, was zu zeigen ist.
Hast du dir mal überlegt, wie die Definitionen der Normen in der Aufgabenstellung "ausgeschrieben" aussehen?
Mal zu (1) Nimm dir einen Vektor [mm] $\vec{x}\in\IR^n$ [/mm] her, sagen wir [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n}$
[/mm]
Dann ist die 1-Norm (auch Betragsummennorm) [mm] $||\vec{x}||_1$ [/mm] definiert als [mm] $\sum\limits_{i=1}^n|x_i|$, [/mm] also als Summe der Beträge der einzelnen Vektorkomponenten von [mm] $\vec{x}$
[/mm]
Ausgeschrieben: [mm] $||\vec{x}||_1=|x_1|+|x_2|+|x_3|+ [/mm] .... [mm] +|x_n|$
[/mm]
Jetzt musst du für die so definierte 1-Norm die 3 Kriterien für eine Norm nachweisen - siehe obigen link
Die Maximumnorm (auch [mm] \infty-Norm) [/mm] in (2) [mm] $||\vec{x}||_{\infty}$ [/mm] ist definiert, als das betragliche Maximum der Komponenten des Vektors [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n}$
[/mm]
Auch hier musst du die 3 Kriterien für eine Norm nachweisen.
Das hat also nix mit der "üblichen" oder besser der "bekannten" euklidischen Norm (2-Norm) zu tun, die definiert ist als
[mm] $||\vec{x}||_{\red{2}}=\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^{\red{2}}\right)^{\frac{1}{\red{2}}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+ .... +x_n^2}$ [/mm] so wie du es oben auch geschrieben hast
Vgl. mit der 1-Norm oben, die kannst du auch schreiben als [mm] $||\vec{x}||_{\red{1}}=\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^{\red{1}}\right)^{\frac{1}{\red{1}}}=\sum\limits_{i=1}^n|x_i|$
[/mm]
Allg. definiert man die p-Norm durch [mm] $||\vec{x}||_{\red{p}}=\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^{\red{p}}\right)^{\frac{1}{\red{p}}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Ein Kreis [mm]K(x_0,r)[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x_0[/mm] mit Radius r ist definiert durch
[mm]K(x_0,r) := \left\{x\in \IR^n, ||x-x_0|| \le r\right\}[/mm]. Zeichnen Sie jeweils ein Beispiel eines Kreises für die beiden obigen Normen im [mm]\IR^2[/mm] |
Sorry, dass ich nun erst mit der 2ten Frage rausrücke, diese bezieht sich natürlich auf die Normen 1 + 2 meiner ersten Frage.
Ich dachte, dass sich mit Lösen der 1. Aufgabe die 2. auch verstehen lässt...
Erstmal grundlegend zu dem "Kreis":
Durch das "kleiner gleich" stellt dieser ja die gesamte Kreisfläche + die Kreislinie dar? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Liege ich da richtig, wenn ich mir das so vorstelle, dass beide "Kreise" nicht wie Kreise aussehen werden, sondern eher eckig? ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Also der für 1. müsste so in etwa wie eine Raute aussehen denke ich, und der für 2. wie ein Quadrat? Klingt zwar jetzt total blöd, aber wären es einfach nur "normale" Kreise, wär's ja langweilig, oder ich irre mich da ganz gewaltig. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dies wird aber dann meine letzte Frage zu "Normen" sein, davon habe ich dann auch schon wieder genug
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
> Ein Kreis [mm]K(x_0,r)[/mm] mit Mittelpunkt [mm]x_0[/mm] mit Radius r ist
> definiert durch
> [mm]K(x_0,r) := \left\{x\in \IR^n, ||x-x_0|| \le r\right\}[/mm].
> Zeichnen Sie jeweils ein Beispiel eines Kreises für die
> beiden obigen Normen im [mm]\IR^2[/mm]
> Sorry, dass ich nun erst mit der 2ten Frage rausrücke,
> diese bezieht sich natürlich auf die Normen 1 + 2 meiner
> ersten Frage.
> Ich dachte, dass sich mit Lösen der 1. Aufgabe die 2. auch
> verstehen lässt...
>
> Erstmal grundlegend zu dem "Kreis":
> Durch das "kleiner gleich" stellt dieser ja die gesamte
> Kreisfläche + die Kreislinie dar?
Jo, quasi die Kreisscheibe mit Rand
>
> Liege ich da richtig, wenn ich mir das so vorstelle, dass
> beide "Kreise" nicht wie Kreise aussehen werden, sondern
> eher eckig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Kann man so sagen!
>
> Also der für 1. müsste so in etwa wie eine Raute aussehen
> denke ich, und der für 2. wie ein Quadrat? Klingt zwar
> jetzt total blöd, aber wären es einfach nur "normale"
> Kreise, wär's ja langweilig, oder ich irre mich da ganz
> gewaltig.
Nein, du irrst nicht, es stimmt alles!
>
> Dies wird aber dann meine letzte Frage zu "Normen" sein,
> davon habe ich dann auch schon wieder genug
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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