Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] g_{1}: \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ 3}
[/mm]
[mm] g_{3}: [/mm] y=2x+1 |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Da ich heute nicht im Matheunterricht war, hänge ich nun an den Hausaufgaben. Eine exakte Aufgabenstellung wurde mir nicht gesagt.
Ich weiß nur, dass ich [mm] g_{1} [/mm] in die Parameterform bringen muss (wie bei zwei) und umgekehrt.
Kann man für Lambda einfach eine Zahl einsetzen? Wie verfahre ich dann weiter?
Bin für eine Erklärung sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hi Sarah,
> [mm]g_{1}: \vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{3 \\ 3}[/mm]
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> [mm]g_{3}:[/mm] y=2x+1
> Hallo Zusammen ,
>
> Da ich heute nicht im Matheunterricht war, hänge ich nun an
> den Hausaufgaben. Eine exakte Aufgabenstellung wurde mir
> nicht gesagt.
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> Ich weiß nur, dass ich [mm]g_{1}[/mm] in die Parameterform bringen
> muss (wie bei zwei) und umgekehrt.
Na dann wollen wir mal :)
Also die Parameterdarsellung einer Geraden sieht ja immer so aus, dass du einen so genannten Stützvektor hast und einen Richtungsvektor. Um die Gerade darzustellen wird zum Stützvektor das vielfache des Richtungsvektors addiert.
Der Stützvektor ist letztlich nichts anderes als der Orstvektor eines Punktes der auf der Geraden liegt, der Richtungsvektor ist dann der Vektor um den die Punkte immer verschoben werden.
> Kann man für Lambda einfach eine Zahl einsetzen? Wie
> verfahre ich dann weiter?
>
> Bin für eine Erklärung sehr dankbar.
Um auf dein Beispiel zu kommen :).
[mm] g_{1}: \vec{a}[/mm] [/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{3 \\ 3}[/mm]
Der Stützvektor ist: [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
Der Richtungsvektor ist: [mm] \vektor{3 \\ 3}
[/mm]
Wie wir vorhin sagten, ist der Stützvektor ein Vektor, der auf der Geraden liegt, also hättest du für deine Gerade als Funktionsvorschrift schonmal Punkt P(-1/0) . Und dann liegt ja noch für [mm] \lambda=1 [/mm] der um den Richtungsvektor verschobene Punkt auf der Geraden, also der Punkt, der aus der Addition des Stütz und des Richtungsvektors entsteht.
Danach hast du zwei Punkte für eine Gleichung mit zwei unbekannten, lösen und fertig.
Um die Funktionsvorschrift in die Parameterdarstellung übertragen zu können, suchst du dir zwei Punkt der Geraden (für x=1 und x=2 z.B) und verfährst im Prinzip rückwärts. Bestimmst also den Richtungsvekor ("verschiebungspfeil") und als Stützvektor nimmst du dann eben den Punkt von dem aus du den Richtungsvektor bestimmt hast.
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Liebe Grüße,
exeqter
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Hey du ,
> Also die Parameterdarsellung einer Geraden sieht ja immer
> so aus, dass du einen so genannten Stützvektor hast und
> einen Richtungsvektor. Um die Gerade darzustellen wird zum
> Stützvektor das vielfache des Richtungsvektors addiert.
> Der Stützvektor ist letztlich nichts anderes als der
> Orstvektor eines Punktes der auf der Geraden liegt, der
> Richtungsvektor ist dann der Vektor um den die Punkte immer
> verschoben werden.
Ist der Stützvektor mit dem Ortsvektor gleichzusetzen? Telefoniere grad mit meiner Freundin, die es trotz des Matheunterrichtes nicht verstanden hat  Aber da war anscheinend die Rede von einem Ortsvektor.
Woher weiß ich, dass Lambda = 1 ist?
Ich verstehe deine Erklärung dazu nicht...
> Wie wir vorhin sagten, ist der Stützvektor ein Vektor, der
> auf der Geraden liegt, also hättest du für deine Gerade als
> Funktionsvorschrift schonmal Punkt P(-1/0) . Und dann liegt
> ja noch für [mm]\lambda=1[/mm] der um den Richtungsvektor
> verschobene Punkt auf der Geraden, also der Punkt, der aus
> der Addition des Stütz und des Richtungsvektors entsteht.
> Danach hast du zwei Punkte für eine Gleichung mit zwei
> unbekannten, lösen und fertig.
>
> Um die Funktionsvorschrift in die Parameterdarstellung
> übertragen zu können, suchst du dir zwei Punkt der Geraden
> (für x=1 und x=2 z.B) und verfährst im Prinzip rückwärts.
> Bestimmst also den Richtungsvekor ("verschiebungspfeil")
> und als Stützvektor nimmst du dann eben den Punkt von dem
> aus du den Richtungsvektor bestimmt hast.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Kann ich mir für die zwei x einfach eine Zahl aussuchen?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo ,
Ich habe noch eine Frage:
Wie kann ich diese Funktionsvorschrift zeichnen, ohne dass ich weiß, was Lamda ist?
Soll wohl anscheinend so gehen.
Liebe Grüße,
Sarah
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Hi,
sorry, wenn es etwas wirr war vorhin :).
Der Stützvektor ist der Ortsvektor des Punktes durch den die Gerade geht, also beispielsweise:
P(0/1) dann ist dessen Ortsvektor [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] soll jetzt ne gerade durch diesen und noch irgendeinen Punkt gehen, kannst du diesen Orstvektor als Stützvektor nutzen, ist nur Namensgeberei.
Naja, das Lambda wird ja auch nicht mit einem konkreten wert angegeben, dafür setzt du ja irgendwas ein um einen bestimmten Punkt zu erhalten.
[mm] g_{1} [/mm] : [mm] \overrightarrow{a}=\vektor{-1 \\ 0}+\lambda\vektor{3 \\ 3} [/mm] .
Stützvektor: [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] daraus folgt, dass dieser vektor der Orstvektor des Punktes (-1/0) ist. So um das ganze möglichst einfach zu halten, wähle ich jetzt für [mm] \lambda=1 [/mm] und berechne den nächsten Punkt der Geraden, der sich durch Verschiebung um [mm] 1*\vektor{3 \\ 3} [/mm] ergibt, also Addition:
[mm] \vektor{-1+3 \\ 0+3}=\vektor{2 \\ 3} [/mm] das ist der Ortsvektor des nächsten Punktes Q(2/3).
Jetzt weißt du für eine Gerade gilt:
y=m*x+b
Und du hast 2 Punkte, das geht, oder ?
So dann zum anderen Teil:
y=2*x+1
Da kannst du dir jetzt zwei Punkte aussuchen (x=1 und x=2 einfach um die Zahlen möglichst klein zu halten).
also P(1/3) und Q(2/5). Die Gerade soll durch P und Q gehen, also schreibst du dir erstmal die Ortsvektoren auf:
[mm] \overrightarrow{OP}=\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OQ}=\vektor{2 \\ 5}
[/mm]
Nun berechnest du den Vektor [mm] \overrightarrow{PQ}, [/mm] der deinen Richtungs- oder Verschiebungsvektor darstellt, also:
[mm] \overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\vektor{2 \\ 5}-\vektor{1 \\ 3}=\vektor{2-1 \\ 5-3}=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Also hast du den Richtunsvektor [mm] \overrightarrow{PQ}, [/mm] als Stützvektor musst du jetzt logischerweise [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] nehmen, weil durch Verschiebung um [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] der Punkt Q bzw der Vektor [mm] \overrightarrow{OQ} [/mm] erhalten wird, es ergibt sich für die Gleichung:
[mm] \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\overrightarrow{PQ}
[/mm]
Jetzt klar(er) ?
Liebe Grüße,
exeqter
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Du kannst die Aufgabe auch ein bisschen anderster lösen:
[mm] \vec{a}=\vektor{x \\ y}=\vektor{-1 \\0}+\lambda*\vektor{3 \\ 3}=\vektor{-1+\lambda*3 \\ 0+\lambda*3}
[/mm]
Damit zwei Vektoren gleich sind müssen sie in jeder Koordinate übereinstimmen:
==> [mm] x=-1+\lambda*3
[/mm]
==> [mm] y=0+\lambda*3
[/mm]
Jetzt ziehst du die zweite gleichung von der ersten ab und hast:
[mm] x-y=-1+\lambda*3-(0+\lambda*3)=-1
[/mm]
==> y=x+1
So kannst du immer vorgehen auch wenn du die Ebenengleichung in Parameterform bringen sollst.
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Hey du ,
[mm]\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\overrightarrow{PQ}[/mm]
Da kommt ja
[mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{2 \\ 5}
[/mm]
Muss ich jetzt noch die Funktionsvorschrift aufstellen?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hi,
du sollst da für [mm] \lambda [/mm] nix einsetzen, was ich dort schrieb, also [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] war die Parameterform der Geraden.
Liebe Grüße,
exeqter
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Hey du ,
> [mm]\overrightarrow{OP}=\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OQ}=\vektor{2 \\ 5}[/mm]
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> Nun berechnest du den Vektor [mm]\overrightarrow{PQ},[/mm] der
> deinen Richtungs- oder Verschiebungsvektor darstellt,
> also:
>
> [mm]\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\vektor{2 \\ 5}-\vektor{1 \\ 3}=\vektor{2-1 \\ 5-3}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> Also hast du den Richtunsvektor [mm]\overrightarrow{PQ},[/mm] als
> Stützvektor musst du jetzt logischerweise
> [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] nehmen, weil durch Verschiebung um
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] der Punkt Q bzw der Vektor
> [mm]\overrightarrow{OQ}[/mm] erhalten wird, es ergibt sich für die
> Gleichung:
>
> [mm]\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\overrightarrow{PQ}[/mm]
Warum ist hier [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] gewählt? Bzw woher weiß ich, dass OX aus den vorher durchgeführten Schritte?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo, du möchtest die Gerade y=2x+1 darstellen, ich habe mir das mal früher so vorgestellt,
- du "läufst" zunächst auf die Gerade, also von (0/0) zu (1/3) das ist dein Vektor [mm] \overrightarrow{OP}, [/mm] so jetzt bist du auf der Geraden,
- jetzt "läufst" du auf der Geraden [mm] \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\lambda\overrightarrow{PQ} [/mm] entlang, dazu benutzt du den Vektor [mm] \overrightarrow{PQ}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{1 \\ 3}+\lambda\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
für [mm] \lambda=1
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{1 \\ 3}+1*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 3}+\vektor{1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 5} [/mm] du bist am Punkt (2/5) angekommen, das ist der Vektor [mm] \vektor{2 \\ 5}
[/mm]
für [mm] \lambda=3
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{1 \\ 3}+3*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 3}+\vektor{3 \\ 6}=\vektor{4 \\ 9} [/mm] du bist am Punkt (4/9) angekommen, das ist der Vektor [mm] \vektor{4 \\ 9}
[/mm]
für [mm] \lambda=-4
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OX}=\vektor{1 \\ 3}+(-4)*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 3}+\vektor{-4 \\ -8}=\vektor{-3 \\ -5} [/mm] du bist am Punkt (-3/-5) angekommen, das ist der Vektor [mm] \vektor{-3 \\ -5}
[/mm]
du kannst also für beliebige [mm] \lambda [/mm] zu jedem Punkt auf der Geraden "laufen" und das ist immer der Vektor [mm] \overrightarrow{OX}, [/mm] die Bezeichnung kann natürlich auch anders gewählt werden, zeichne dir mal jeden "Weg, den du läufst" einzeln auf,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
das geht doch ganz einfach :) (kein Problem), ich denke mal du möchtest aus der Parameterform heraus zeichnen ?
Einen Punkt hast du, den Stützvektor, dazu addierst du einmal den Richtungsvektor, hast dann zwei Ortsvektoren von zwei Punkten, da ziehst du die Gerade durch.
Lg
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Hallo Zusammen ,
Kann mir einer zu diesem Thema eine gute Internetseite empfehlen, die das Thema "Parameterform" noch mal von Anfang an erklärt?
Ich habe die Antwort auf meine Frage nicht 100%-ig verstanden, wüsste aber auch nicht, welche Fragen ich stellen soll.
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo, ![[]](/images/popup.gif) hier kannst du auch nachlesen, Steffi
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