Zusammenhang Det-Spur < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 08.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es sei A eine komplexe (n x n)-Matrix. Wir werden zeigen, dass(*) [mm] det(exp(A))=e^{Spur(A)}.
[/mm]
a) Zeigen Sie (*) für eine Diagonalmatrix
b) Zeigen Sie (*) für einen Jordanblock [mm] A=J(\lambda,k).
[/mm]
c) Zeigen Sie (*) für eine allgemine Matrix [mm] A\inM(n [/mm] x n, [mm] \IC) [/mm] |
zu a) Sei A Diagonalmatrix:
Dann stehen in exp(A) die Einträge [mm] exp(a_{ij}) [/mm] für i=j, dass heißt, die Einträge werden einfach exponenziert. Nun ist die Determinante [mm] det(exp(A))=\produkt_{i=1}^{n}[exp(a_{ii})]=exp[\summe_{i=1}^{n}([a_{ii})]=exp(Spur(A))=e^{Spur(A)}. [/mm] q.e.d.
zu b) Sei nun A ein Jordanblock zum Eigenwet [mm] \lambda [/mm] und Länge k. Macht es Sinn, den Jordanblock in eine Diagonalmatrix ud "den Rest" zu zerlegen? Ich kann mir nciht so richtig denken, wie die Matrix exp(A) aussehen wird...
zu c) Ich denke, dass ich hier damit arbeiten kann, dass jede Matrix sich in Jordan-Form bringen lässt, allerdings habe ich hier ann nciht einen Jordanblock (wie in b) sondern im allgemeinen mehrere...wie kann ich hier folgern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 08.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei A eine komplexe (n x n)-Matrix. Wir werden zeigen,
> dass(*) [mm]det(exp(A))=e^{Spur(A)}.[/mm]
> a) Zeigen Sie (*) für eine Diagonalmatrix
> b) Zeigen Sie (*) für einen Jordanblock [mm]A=J(\lambda,k).[/mm]
> c) Zeigen Sie (*) für eine allgemine Matrix [mm]A\inM(n[/mm] x n,
> [mm]\IC)[/mm]
> zu a) Sei A Diagonalmatrix:
> Dann stehen in exp(A) die Einträge [mm]exp(a_{ij})[/mm] für i=j,
> dass heißt, die Einträge werden einfach exponenziert. Nun
> ist die Determinante
Hatten wir nicht schonmal genau diese Frage vor ein paar Tagen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Fr 09.05.2008 | | Autor: | side |
mag sein, hilft mir aber nicht weiter...wenn ich die Aufgabe bereits im Forum gefunden hätte, bräuchte ich ja nicht nochmal fragen...im übrigen: ich habe die aufgabe direkt nachdem sie ausgegeben wurde online gestellt...wenn dann müsste eine andere uni die gleichen aufgaben ausgegeben haben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Fr 09.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> mag sein, hilft mir aber nicht weiter...wenn ich die
> Aufgabe bereits im Forum gefunden hätte, bräuchte ich ja
> nicht nochmal fragen...
Wenn du mal etwas im Forum gesucht haettest, z.B. nach ``Diagonalmatrix exp'', dann haettest du das hier gefunden. Da wird u.a. diskutiert, wie [mm] $\exp(A)$ [/mm] fuer einen Jordanblock $A$ aussieht (siehe hier) und fuer eine beliebige Matrix $A$ (siehe hier). Auch wenn du da nicht direkt Loesungen findest, Hinweise sollte es genug geben.
> im übrigen: ich habe die aufgabe
> direkt nachdem sie ausgegeben wurde online gestellt...wenn
> dann müsste eine andere uni die gleichen aufgaben
> ausgegeben haben...
Sowas kann sehr gut mal vorkommen.
LG Felix
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