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Vorkurszettel

Dipl. math. Felix Fontein Dipl. math. Dieter Osterholz	www.matheraum.de Algebra-Training 2006 Aufgabenblatt 6 Abgabe: Fr 10.07.2009 15:00	17.11.2006
Es werden insgesamt 6 Aufgaben.
Aufgabe 1
Man führe die in Satz 4 beschriebene Division mit Rest im Polynomring $\IZ[X]$ in folgenden Fällen explizit durch: (i) f = $3X^{5}$ + $2X^{4}$ - $X^{3}$ + $3X^{2}$ - 4X + 7, g = $X^{2}$ - 2X + 1 (ii) f = $X^{5}$ + $X^{4}$ - $5X^{3}$ + $2X^{2}$ + 2X -1, g = $X^{2}$ - 1
Aufgabe 2
Sei K ein Körper und g $\in$ K[X] ein Polynom einer Variablen vom Grad d > 0. Man beweise die Existenz der sogenannten g-adischen Entwicklung: Zu f $\in$ K[X] gibt es eindeutig bestimmte Polynome $a_{0}, a_{1}$ ... $\in$ K[X] vom Grad < d, $a_{i}$ = 0 für fast alle i, mit f = $\summe_{i}{}a_{i}g^{i}.$
Aufgabe 3
Es sei R ein Ring, der ein nilpotentes Element a $\not=$ 0 enthalte; nilpotent bedeutet, daß es ein n $\in \IN$ mit $a^{n}$ = 0 gibt. Man zeige, daß die Einheitengruppe R* eine echte Untergruppe der Einheitengruppe (R[X])* ist.
Aufgabe 4
Man bestimme den kleinsten Unterring von $\IR,$ welcher $\IQ$ und $\wurzel{2}$ enthält, und zeige, daß dieser bereits ein Körper ist.