Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Teilmenge1

Wie führe ich einen Beweis?

5. Beispiele b) Teilmengenbeziehung 2

5. Beispiele

a) Teilmengenbeziehung 1

Aufgabe:

Seien ,, und Mengen. Es gelte und . Zeigen Sie, dass dann auch gilt.

Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

bedeutet:

    .

bedeutet:

    .

Behauptung:

.

Dabei ist

und

    .

Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Teilmengenbeziehung. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung die Aussage .

bedeutet, dass oder . Zu zeigen ist also diese "oder"-Aussage. Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen eine Fallunterscheidung nach gewissen Fällen und durchführen, für die als wahr bekannt ist. Dann zeigen wir, dass aus die Aussage und aus die Aussage folgt.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass gilt.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass gilt, d.h. dass oder gilt.
...
Hauptteil
(1. Fall: . Zeigen, dass in diesem Fall .)
(2. Fall: . Zeigen, dass in diesem Fall .)
...
Somit gilt in jedem Fall oder , also .
Da beliebig war, folgt .

Hauptteil des Beweises:

Die Voraussetzungen und sind "für alle"-Aussagen. Punkt f) unter 4. Wie benutze ich...? rät uns, Elemente bzw. zu finden, für die wir dann auf bzw. schließen können. Noch haben wir keine solchen Elemente und .

Für den Hauptteil haben wir aber als zusätzliche Voraussetzung . Das bedeutet oder . Punkt b) in 4. Wie benutze ich...? legt uns für solche "oder"-Aussagen eine Fallunterscheidung nach bzw. nahe. Und genau eine Fallunterscheidung haben wir bei unseren Gedanken zum Beweisrahmen ja gesucht!

Nehmen wir als 1. Fall also mal . Jetzt haben wir also endlich ein Element von gefunden, auf das wir anwenden können: Wir können folgern. Und genau da wollten wir hin!

Unser 2. Fall lautet . Jetzt haben wir also ein Element von gefunden, auf das wir anwenden können: Wir können folgern. Und genau da wollten wir hin!

Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass gilt.
Sei also .
Zu zeigen ist, dass gilt, d.h. dass oder gilt.

bedeutet, dass oder gilt.
1. Fall: . Wegen folgt dann C''
2. Fall: . Wegen folgt dann C''

Somit gilt in jedem Fall oder , also .
Da beliebig war, folgt .