Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Zeige-Anleitung

Wie führe ich einen Beweis?

2. Grundsätzliches zum Beweisen Inhaltsverzeichnis 4. Wie benutze ich...?

3. Wie zeige ich...?

a) Wie zeige ich eine "und"-Aussage?

Für eine Aussage der Form zeige nacheinander die Aussagen und .

Beispiele: Teilmengenbeziehung 2, Gleichheit von Mengen

b) Wie zeige ich eine "oder"-Aussage?

Für eine Aussage der Form führe eine Fallunterscheidung nach geeigneten Aussagen und durch, für die als wahr bekannt ist. Zeige, dass im Falle die Aussage zutrifft und im Falle die Aussage zutrifft.
Falls sich aus den Voraussetzungen eine Aussage der Form entnehmen lässt, sind diese Aussagen und gute Kandidaten für die Fallunterscheidung. Anderenfalls kann und gute Dienste leisten.

Beispiele: Teilmengenbeziehung 1 ( aus Voraussetzungen), Teilmengenbeziehung 2 ( und )

c) Wie zeige ich eine "es folgt"-Aussage?

Für eine Aussage der Form nimm als zusätzliche Voraussetzung an ("Gelte .") und zeige .

Beispiel: Injektivität, Bilder und Urbilder

d) Wie zeige ich eine "genau dann, wenn"-Aussage?

Für eine Aussage der Form zeige nacheinander und wie in c) beschrieben.

Beispiel: Injektivität, Bilder und Urbilder

e) Wie zeige ich eine "nicht"-Aussage?

Für eine Aussage der Form nimm als zusätzliche Voraussetzung an ("Angenommen .") und führe diese Annahme zu einem Widerspruch.

Beispiel: Gleichheit von Mengen

f) Wie zeige ich eine "für alle"-Aussage?

Für eine Aussage der Form betrachte ein beliebig vorgegebenes Element ("Sei .") und zeige unter der zusätzlichen Voraussetzung für dieses Element die Aussage .
Da beliebig vorgegeben war, gilt somit für alle .

Beispiele: Surjektivität, Injektivität, Bilder und Urbilder

g) Wie zeige ich eine "es existiert"-Aussage?

Für eine Aussage der Form finde ein Beispiel-Element , für das gilt.
Häufig folgt die Existenz eines , für das sich zeigen lässt, aus einer Voraussetzung.
Ansonsten hilft oft die "Schmierzettelmethode": Nimm auf einem Schmierzettel an, du hättest ein Element , für das gilt. Folgere eine möglichst "aussagekräftige" Aussage über , im Idealfall eine Aussage der Form "". Finde ein Beispiel für ein , für das gilt. Wichtig: Ignoriere dann den Inhalt des Schmierzettels und beweise, dass das gefundene die Aussage erfüllt.

Beispiele: Gruppe (Schmierzettelmethode), Surjektivität (Beispiel-Element aus Voraussetzungen)

h) Wie zeige ich die Gleichheit zweier Mengen?

Für eine Aussage der Form mit gewissen Mengen und zeige nacheinander und wie unter i) beschrieben.

Beispiel: Gleichheit von Mengen

i) Wie zeige ich, dass eine Menge Teilmenge einer anderen Menge ist?

Für eine Aussage der Form mit gewissen Mengen und betrachte ein beliebig vorgegebenes Element ("Sei .") und zeige unter der zusätzlichen Voraussetzung die Aussage .
Da beliebig vorgegeben war, gilt somit für alle ; also gilt .

Der Punkt i) ist eigentlich überflüssig, denn er ergibt sich aus der Definition von als "für alle"-Aussage und dem unter f) beschriebenen Verfahren für solche Aussagen. Da jedoch sehr häufig Teilmengenbeziehungen zu zeigen sind, kann es nicht schaden, diese Anwendung von f) explizit zu kennen.

Beispiele: Teilmengenbeziehung 1, Teilmengenbeziehung 2, Gleichheit von Mengen