Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A17

Beweis-Tutorial

4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 17

Aufgabe:

Sei eine gerade Funktion. Zeige, dass dann auch die Funktion gerade ist.

Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion
gerade, d.h. für alle reellen Zahlen .
die Funktion
Zu zeigen:
gerade, d.h. für alle reellen Zahlen

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahl und wollen zeigen.

Es gilt und ; also ist zu zeigen.

Bringen wir nun die gegebene Aussage, dass für alle reellen Zahlen gilt, ins Spiel: Da eine reelle Zahl ist, gilt somit insbesondere .

Also wie gewünscht .

Lösungsvorschlag:

Sei eine beliebig vorgegebene reelle Zahl.
Da gerade ist, gilt für alle reellen Zahlen .
Insbesondere gilt dies für unsere reelle Zahl , also .
Es folgt .
Da beliebig vorgegeben war, gilt somit für alle reellen Zahlen .
Also ist gerade.