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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial_alle

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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial alle

Beweis-Tutorial

$\leftarrow$ 2. "es existiert"-Aussagen $\uparrow$ Inhaltsverzeichnis

3. "für alle"-Aussagen

Wie zeige ich eine "für alle"-Aussage?

Beispiel Die Funktion $f\colon\IR\to\IR,\;f(x)=5x$ ist monoton steigend.

Zu zeigen ist also nach Definition von "monoton steigend": Für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ gilt $f(x_1)\le f(x_2)$ .

Eine Möglichkeit, eine solche "für alle"-Aussage zu zeigen, ist die folgende: Wir betrachten "beliebig vorgegebene" Zahlen $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ . Dann zeigen wir, dass für diese Zahlen $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ gilt. Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegeben waren, gilt somit $f(x_1)\le f(x_2)$ für ALLE reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ . Diese Vorgehensweise können wir mit folgendem "Beweis-Rahmen" notieren:

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ .
...
Also gilt $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_1})$ .
Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegeben waren, gilt somit $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Also ist $f\$ monoton steigend.

Ergänzen wir nun noch den fehlenden Teil: Wir sind also in der Situation, reelle Zahlen $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le \widetilde{x_2}$ vorgegeben zu haben, und müssen $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ zeigen. Wegen $f(\widetilde{x_1})=5\widetilde{x_1}\$ und $f(\widetilde{x_2})=5\widetilde{x_2}\$ müssen wir also $5\widetilde{x_1}\le 5\widetilde{x_2}$ zeigen. Dies folgt jedoch direkt aus $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ und $5>0\$ (Ungleichungen bleiben bei Multiplikation mit einer positiven Zahl erhalten). Unseren fertigen Beweis können wir nun wie folgt notieren:

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ .
Wegen $5>0\$ gilt dann auch $5\widetilde{x_1}\le 5\widetilde{x_2}$ .
Also gilt $f(\widetilde{x_1})=5\widetilde{x_1}\le5\widetilde{x_2}=f(\widetilde{x_2})$ .
Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le \widetilde{x_2}$ beliebig vorgegeben waren, gilt somit $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Also ist $f\$ monoton steigend.

Eine Bemerkung noch: Bei diesem elementaren Beispiel hätten wir auch einfach schreiben können:
"Für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ gilt unter Beachtung von $5>0\$ : $f(x_1)=5x_1\le5x_2=f(x_2)$ . Also ist $f\$ monoton steigend."
Bei komplexeren Beispielen, wie wir sie noch kennenlernen werden, ist eine solche Kurzfassung jedoch nicht mehr möglich. Daher haben wir gleich die in den meisten Fällen anwendbare Methode vorgestellt. Auch beim Bearbeiten der folgenden Übungsaufgaben solltest du auf eine Kurzfassung verzichten, um die später benötigte Methode bereits an einfacheren Beispielen einzuüben.

Aufgabe 14 Zeige, dass die Funktion $f\colon\IR\to\IR,\;f(x)=5x$ ungerade ist. Lösungsvorschlag

Aufgabe 15 Zeige, dass die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=x^2$ gerade ist. Lösungsvorschlag

Aufgabe 16 Zeige, dass für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ stets $a=0\$ gilt. Lösungsvorschlag

Wie benutze ich eine "für alle"-Aussage?

Starten wir mal damit, die Aussage
"Für alle Leserinnen und Leser $L\$ dieses Tutorials gilt: $L\$ will etwas lernen."
als wahr anzunehmen. Was können wir daraus schließen? Z.B., dass du etwas lernen möchtest! Denn du bist eine Leserin oder ein Leser dieses Tutorials.

Allgemeiner: Wenn wir irgendeine Aussage (im Beispiel: " $L\$ will etwas lernen") für alle "Objekte" einer gewissen Art (im Beispiel: für alle Leserinnen und Leser $L\$ dieses Tutorials) gegeben haben, können wir daraus einen sinnvollen Schluss ziehen, sobald wir ein Objekt dieser Art (im Beispiel: dich) vorliegen haben: Was für alle Objekte dieser Art gilt, gilt insbesondere für das vorliegende Objekt dieser Art.

Wenden wir uns nun einem etwas mathematischeren Beispiel zu:

Beispiel Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine monoton steigende Funktion. Dann ist auch die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=2\cdot f(x)$ monoton steigend.

Unsere übliche "Vorab-Analyse":

Gegeben:
eine Funktion $f\colon\IR\to\IR$
$f\$ monoton steigend, d.h. $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$
die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=2\cdot f(x)$
Zu zeigen:
$g\$ monoton steigend, d.h. $g(x_1)\le g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .

Wie unser Beweis-Rahmen aussehen wird, wissen wir schon: Wir betrachten beliebig vorgegebene reelle Zahlen $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le \widetilde{x_2}$ und wollen $g(\widetilde{x_1})\le g(\widetilde{x_2})$ zeigen. Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegeben waren, gilt dann in der Tat $g(x_1)\le g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ . Fehlt noch der Hauptteil: Wir sind in der Situation, reelle Zahlen $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ vorgegeben zu haben und müssen $g(\widetilde{x_1})\le g(\widetilde{x_2})$ zeigen. Wegen $g(\widetilde{x_1})=2\cdot f(\widetilde{x_1})$ und $g(\widetilde{x_2})=2\cdot f(\widetilde{x_2})$ müssen wir also $2\cdot f(\widetilde{x_1})\le2\cdot f(\widetilde{x_2})$ zeigen.

Nun haben wir gegeben, dass $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ gilt. Also gilt dies insbesondere für unsere Zahlen $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ (denn $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ sind reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ ): Wir erhalten $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ . Wegen $2>0\$ folgt aus $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ , dass wie gewünscht auch $2\cdot f(\widetilde{x_1})\le 2\cdot f(\widetilde{x_2})$ gilt.

Unser Beweis im Zusammenhang:

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ .
Da $f\$ monoton steigend ist, gilt $f(x)\le f(y)$ für alle reellen Zahlen $x\$ und $y\$ mit $x\le y$ .
Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le \widetilde{x_2}$ sind, gilt somit insbesondere $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ .
Wegen $2>0\$ folgt $2\cdot f(\widetilde{x_1})\le 2\cdot f(\widetilde{x_2})$ .
Also $g(\widetilde{x_1})=2\cdot f(\widetilde{x_1})\le 2\cdot f(\widetilde{x_2})=g(\widetilde{x_2})$ .
Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegeben waren, gilt somit $g(x_1)\le g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Also ist $g\$ monoton steigend.

Aufgabe 17 Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine gerade Funktion. Zeige, dass dann auch die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=-3\cdot f(x)$ gerade ist. Lösungsvorschlag

Beispiel Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine monoton steigende Funktion. Dann ist die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(-4x)$ monoton fallend.

Gegeben:
eine Funktion $f\colon\IR\to\IR$
$f\$ monoton steigend, d.h. $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$
die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(-4x)$
Zu zeigen:
$g\$ monoton fallend, d.h $g(x_1)\ge g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ . Zu zeigen ist $g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2})$ .

Wegen $g(\widetilde{x_1})=f(-4\widetilde{x_1})$ und $g(\widetilde{x_2})=f(-4\widetilde{x_2})$ ist also $f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})$ zu zeigen.

Wir könnten nun wie im vorherigen Beispiel die gegebene Aussage $f(x_1)\le f(x_2)$ auf $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ anwenden. Dann erhielten wir $f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2})$ . Nur leider hilft uns das beim Nachweis von $f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})$ nicht weiter.

Wir benötigen stattdessen eine Ungleichung über die Funktionswerte von $f\$ an den Stellen $-4\widetilde{x_1}$ und $-4\widetilde{x_2}$ . Also hilft es uns vielleicht weiter, die gegebene Aussage $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ anzuwenden auf $-4\widetilde{x_1}$ und $-4\widetilde{x_2}$ . Dazu benötigen wir das Wissen, welche der beiden letztgenannten Zahlen kleiner gleich der anderen ist. Wegen $\widetilde{x_1}\le \widetilde{x_2}$ und $-4<0\$ gilt $-4\widetilde{x_1}\ge-4\widetilde{x_2}$ ("bei Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl kehrt sich das Ungleichheitszeichen um"), also $-4\widetilde{x_2}\le-4\widetilde{x_1}$ . Daher können wir nun tatsächlich die Aussage $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ auf diese beiden Zahlen $-4\widetilde{x_2}$ und $-4\widetilde{x_1}$ anwenden: Wir erhalten $f(-4\widetilde{x_2})\le f(-4\widetilde{x_1})$ .

Also haben wir wie gewünscht $f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})$ gezeigt! Schreiben wir nun unsere Argumentation sauber auf:

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ .
Wegen $-4<0\$ folgt $-4\widetilde{x_1}\ge-4\widetilde{x_2}$ , also gilt $-4\widetilde{x_2}\le-4\widetilde{x_1}$ .
Da $f\$ monoton steigend ist, gilt $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Insbesondere gilt wegen $-4\widetilde{x_2}\le -4\widetilde{x_1}$ die Ungleichung $f(-4\widetilde{x_2})\le f(-4\widetilde{x_1})$ .
Es folgt $g(\widetilde{x_1})=f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})=g(\widetilde{x_2})$ .
Da $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ beliebig waren, gilt somit $g(x_1)\ge g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Also ist $g\$ monoton fallend.

Nachdem wir nun hoffentlich halbwegs vertraut mit den vorgestellten Standard-Schlussweisen für "für alle"-Aussagen sind, möchte ich am gerade behandelten Beispiel alternative Möglichkeiten vorstellen, solche Beweise zu notieren. Natürlich gibt es noch viel mehr Varianten. Eine Möglichkeit:

Zu zeigen ist, dass $g\$ monoton fallend ist, d.h. dass $g(x_1)\ge g(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ gilt.
Seien also $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ beliebig vorgegebene reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ . Zu zeigen ist $g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2})$ .
Aus $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ folgt wegen $-4<0\$ die Ungleichung $-4\widetilde{x_1}\ge-4\widetilde{x_2}$ , also $-4\widetilde{x_2}\le-4\widetilde{x_1}$ .
Da $f\$ monoton steigend ist, gilt $f(x_1)\le f(x_2)$ für alle reellen Zahlen und mit $x_1\le x_2$ .
Insbesondere gilt wegen $-4\widetilde{x_2}\le -4\widetilde{x_1}$ die Ungleichung $f(-4\widetilde{x_2})\le f(-4\widetilde{x_1})$ .
Es folgt $g(\widetilde{x_1})=f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})=g(\widetilde{x_2})$ , was zu zeigen war.

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass von Anfang an die Struktur des Beweises transparent wird. Daher werden wir sie in den Beispielen der folgenden Seiten und ab jetzt in den Lösungsvorschlägen nutzen. Wenn man möchte, kann man die Argumentation auch etwas knapper formulieren:

Seien $\widetilde{x_1}$ und $\widetilde{x_2}$ reelle Zahlen mit $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ . Zu zeigen ist $g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2})$ .
Aus $\widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2}$ folgt wegen $-4<0\$ die Ungleichung $-4\widetilde{x_1}\ge-4\widetilde{x_2}$ , also $-4\widetilde{x_2}\le-4\widetilde{x_1}$ .
Da $f\$ monoton steigend ist, gilt somit $f(-4\widetilde{x_2})\le f(-4\widetilde{x_1})$ .
Es folgt $g(\widetilde{x_1})=f(-4\widetilde{x_1})\ge f(-4\widetilde{x_2})=g(\widetilde{x_2})$ .

Aufgabe 18 Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine monoton fallende Funktion. Seien $a\$ und $b\$ reelle Zahlen. Zeige, dass auch die Funktion $g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b$ monoton fallend ist. Lösungsvorschlag

Aufgabe 19 Seien $f\colon\IR\to\IR$ und $g\colon\IR\to\IR$ monoton steigende Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktion $h\colon\IR\to\IR,\;h(x)=g(f(x))$ monoton steigend ist. Lösungsvorschlag

Aufgabe 20 Sei $f\colon\IR\to\IR$ eine Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Zeige $f(x)=0\$ für alle reellen Zahlen $x\$ . (Tipp: Gemäß Aufgabe 16 gilt: Für alle reellen Zahlen $a\$ mit $a=-a\$ gilt $a=0\$ .) Lösungsvorschlag

Erstellt: Fr 27.09.2013 von tobit09

Letzte Änderung: Fr 31.10.2014 um 21:16 von tobit09

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