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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A19

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 19


Aufgabe:

Seien $ f\colon\IR\to\IR $ und $ g\colon\IR\to\IR $ monoton steigende Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktion $ h\colon\IR\to\IR,\;h(x)=g(f(x)) $ monoton steigend ist.


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
eine Funktion $ g\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ monoton steigend, d.h. $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
$ g\ $ monoton steigend, d.h. $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
die Funktion $ h\colon\IR\to\IR,\;h(x)=g(f(x)) $
Zu zeigen:
$ h\ $ monoton fallend, d.h. $ h(x_1)\le h(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahlen $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ und wollen $ h(\widetilde{x_1})\le h(\widetilde{x_2}) $ zeigen.

Wegen $ h(\widetilde{x_1})=g(f(\widetilde{x_1})) $ und $ h(\widetilde{x_2})=g(f(\widetilde{x_2})) $ ist also $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $ zu zeigen.

Stellen wir zunächst eine Beziehung zwischen $ f(\widetilde{x_1}) $ und $ f(\widetilde{x_2}) $ her: Da $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, folgt insbesondere $ f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2}) $.

Das wiederum können wir ausnutzen, um zur gewünschten Ungleichung $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $ zu gelangen: Da $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, folgt insbesondere $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $.


Lösungsvorschlag:

Zu zeigen ist, dass $ h\ $ monoton fallend ist, d.h. dass $ h(x_1)\le h(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt.
Seien also $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ reelle Zahlen mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $. Zu zeigen ist $ h(\widetilde{x_1})\le h(\widetilde{x_2}) $.
Da $ f\ $ monoton steigend ist, gilt $ f(x_1)\le f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ f(\widetilde{x_1})\le f(\widetilde{x_2}) $.
Da $ g\ $ monoton steigend ist, gilt $ g(x_1)\le g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2})) $.
Also $ h(\widetilde{x_1})=g(f(\widetilde{x_1}))\le g(f(\widetilde{x_2}))=h(\widetilde{x_2}) $, was zu zeigen war.

Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 06:17 von tobit09
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