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Benutzer:tobit09/Stochastik2

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Benutzer:tobit09/Stochastik2

Stochastisches Modellieren für Einsteiger

$\leftarrow$ 1. Ergebnismengen $\blue\Omega$ $\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ 3. Zähldichten p und Wahrscheinlichkeits-Verteilungen P

2. Ereignisse

Unter einem Ereignis aus der realen Welt wollen wir etwas verstehen, das bei einem stochastischen Vorganges je nach Ausgang eintritt oder nicht eintritt. Beispiele wären "gerade Zahl gewürfelt" beim Würfelwurf oder "Farbe Pik gezogen" beim Ziehen einer Karte vom Stapel eines Skat-Spiels.

Um vom zugehörigen mathematischen Ereignis sprechen zu können, muss man sich zunächst auf eine Ergebnismenge $\Omega$ für den stochastischen Vorgang festlegen. Dann verstehen wir unter dem mathematischen Ereignis die Menge aller $\omega\in\Omega$ , die für Ausgänge stehen, bei denen das Ereignis aus der realen Welt eintritt.

Beispiel: "gerade Zahl gewürfelt" beim Würfelwurf

$\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}$
$E:=\{\omega\in\Omega\;|\;\omega\text{ gerade}\}=\{2,4,6\}$

Weiteres Beispiel: "Farbe Pik gezogen" beim Ziehen einer Karte vom Stapel eines Skat-Spiels

$\Omega:=\{\text{Pik }7, \text{Pik }8, .... , \text{Pik As},\text{Kreuz }7, \text{Kreuz }8, ... , \text{Kreuz As},\text{Herz }7, \text{Herz }8, ... , \text{Herz As},\text{Karo }7, \text{Karo }8, ... , \text{Karo As}\}$
$E:=\{\text{Pik }7, \text{Pik }8, .... , \text{Pik As}\}$

Oder:
$\Omega:=\{1,2,3,4,5,6,7,\ldots,32\}$
Annahme: Die 7 Pik-Karten haben die Nummern von 1 bis 7 erhalten.
$E:=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

Aufgabe 5: Geben Sie die zugehörigen mathematischen Ereignisse an:
(i) "keine Niete erdreht" beim Glücksrad mit den Feldern Niete, Trostpreis und Hauptpreis
(ii) "schwarze Kugel gezogen" beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 3 schwarzen und einer weißen Kugel bei Wahl von $\Omega:=\{1,2,3,4\}$ , wobei die schwarzen Kugeln die Nummern 1, 2 und 3 und die weiße Kugel die Nummer 4 erhalte
(iii) "schwarze Kugel gezogen" beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 3 schwarzen und einer weißen Kugel bei Wahl von $\Omega:=\{s,w\}$

Lösungsvorschlag

Schauen wir uns noch ein paar Ereignisse bei stochastischen Vorgängen an, deren Ausgänge durch Tupel beschrieben werden:

Beispiel: "Augensumme gerade" beim zweifachen Würfelwurf

$\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1,\omega_2\in\{1,2,3,4,5,6\}\}$
$E:=\{(\omega_1,\omega_2)\in\Omega\;|\;\omega_1+\omega_2\text{ gerade}\}=\{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\}$

Aufgabe 6: Geben Sie die zugehörigen mathematischen Ereignisse an:
(i) "erste Zahl gerade" beim zweifachen Würfelwurf
(ii) "im ersten und letzten Wurf landet die Münze auf der gleichen Seite" beim 10-fachen Münzwurf
(iii) "zwei schwarze Kugeln gezogen" beim zweifachen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 3 schwarzen und einer weißen Kugel
(iv) "erst Pik, dann zweimal Herz gezogen" beim Ziehen von 3 verschiedenen Karten eines Skat-Spiels

Lösungsvorschlag

Erstellt: Mi 28.11.2012 von tobit09

Letzte Änderung: Do 29.11.2012 um 08:12 von tobit09

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