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Faltung
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Faltung

Faltung



Unter einer Faltung versteht man eine multiplikative Operation auf Objekten $ M:=O_i*O_j $


Die kleinste Einheit, die gebildet werden kann ist eine Abbildung $ O:=K\times K\rightarrow K $ z.B. mit $ c:=a*b\quad (a,b\in\IR) $


Seien $ a:=a_i $ und $ b:=b_j $ beliebige Folgen, so ist eine neue Folge $ c:=c_r $, die aus dem Produkt $ a*b $ gebildet wurde ein Faltungsprodukt.


Satz: Seien die Reihen $ \summe_i{a_i} $ und $ \summe_j{b_j} $ absolut konvergent, so konvergiert auch die Reihe $ \summe_r{c_r} $ absolut und es gilt:

$ \summe_{r=0}^{\infty}{c_r}=\left(\summe_{i=0}^{\infty}{a_i}\right)\cdot{}\left(\summe_{j=0}^{\infty}{b_j}\right) $



Faltungsintegral

Das Integral $ f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\integral_0^t{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\ d\tau} $ heißt Faltungungsintegral



Eigenschaft der Faltung


Kommutativität

$ f_1*f_2=f_2*f_1 $


Beweis

$ f_1(t)*f_2(t)=\integral_0^t{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\ d\tau} $

Substitution: $ \sigma=t-\tau $

$ =\integral_0^t{f_1(t-\sigma)f_2(\sigma)\ d\sigma}=\integral_0^t{f_2(\sigma)f_1(t-\sigma)\ d\sigma}=f_2(t)*f_1(t) $



Assoziativität

$ (f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3) $



Beweis

$ [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)=f_1(t)*[f_2(t)]*f_3(t)] $


$ g_1(u):=f_1(u)*f_2(u)=\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\ dv} $

$ g_2(t):=f_2(t)*f_3(t)=\integral_{w=0}^t{f_2(w)f_3(t-w)\ dw} $


zu zeigen: $ g_1(t)*f_3(t)=f_1(t)*g_2(t) $


$ g_1(t)*f_3(t)=\integral_0^t{g_1(u)f_3(t-u)\ du} $

$ =\integral_{u=0}^{t}\left(\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\ dv\right)\cdot{}f_3(t-u)\ du}=\integral_{u=0}^{t}\integral_{v=0}^u{f_1(v)f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ dvdu} $

$ =\integral_{v=0}^{t}\integral_{u=v}^t{f_1(v)f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ dudv}=\integral_{v=0}^{t}f_1(v)\left(\integral_{u=v}^t{f_2(u-v)\cdot{}f_3(t-u)\ du\right)\ dv} $

$ mit:\quad w:=u-v,\ t-u=t-v-w,\ du=dw,\ u=v\ \rightarrow\ w=0,\ u=t\ \rightarrow\ w=t-v $


$ =\integral_{v=0}^{t}f_1(v)\left(\integral_{w=0}^{t-v}{f_2(w)\cdot{}f_3(t-v-w)\ dw\right)\ dv}=\integral_{v=0}^{t}f_1(v)g_2(t-v)\ dv}=f_1(t)*g_2(t) $



Distributivität

$ f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3 $




Beispiele:


E-Funktion

$ e^x=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}}\quad (x_i\in\IR) $


es ist: $ e^{x_1+x_2}=e^{x_1}*e^{x_2} $


wir beginnen mit der rechten Seite

Es seien die beiden Folgen: $ (a_i):=\left(\bruch{x_1^i}{i!}\right) $ und $ (b_i j):=\left(\bruch{x_2^j}{j!}\right) $ gegeben


dann ist

$ c_r:=\summe_{i=0}^{r}{a_ib_{r-i}}\ =\ \bruch{1}{r!}\summe_{i=0}^{r}{\bruch{r!}{i!(r-i)!}\cdot{}x_1^ix_2^{r-i}}\ =\ \bruch{1}{r!}\summe_{i=0}^{r}{\vektor{ r \\ i }\cdot{}x_1^ix_2^{r-i}}=\bruch{(x_1+x_2)^r}{r!} $





Letzte Änderung: Mi 06.12.2006 um 11:45 von Herby
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