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Definition Inhalt

$ \mathcal{R} $ Ring in $ \Omega $, $ \mu:\ \mathcal{R}\to[0,+\infty] $ Funktion.
$ \mu $ heißt Inhalt (auf $ \mathcal{R} $) wenn

  • $ \mu(\emptyset)=0 $
  • $ A_1,\ldots,A_n $ paarweise fremde Mengen $ \Rightarrow $ $ \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right)=\summe_{i=1}^n \mu(A_i) $ (endliche Additivität)

Siehe auch: Prämaß, Maß

Weitere Eigenschaften:
($ A,B,A_1,A_2,\ldots $ seien Mengen aus $ \mathcal{R} $)

  • $ \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B) $
  • $ A\subset B\ \Rightarrow\ \mu(A)\le \mu(B) $ (Isotonie)
  • $ A\subset B,\ \mu(A)<+\infty\ \Rightarrow\ \mu(A\setminus B)=\mu(B)-\mu(A) $ (Subtraktivität)
  • $ \mu\left(\summe_{i=1}^n A_i\right)\le \summe_{i=1}^n \mu(A_i) $ (Sub-Additivität)
  • $ (A_n) $ Folge paarweise fremder Mengen aus $ \mathcal{R} $ mit $ \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{R} $ $ \Rightarrow $ $ \summe_{n=1}^\infty \mu(A_n)\le \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) $

Beispiele:

  1. $ \Omega $ abzählbar-unendlich, $ \mathcal{A}:=\left\{A\subseteq\Omega\ :\ A\mbox{ oder }\complement A\mbox{ endlich}\right\} $ Algebra. $ \mu(A):=\begin{cases}0,&\text{ falls } A \text{ endlich}\\1,&\text{ falls }\complement A\text{ endlich}\end{cases} $ ist Inhalt (aber kein Prämaß).
  2. $ \mu_1,\mu_2,\ldots $ Folge von Inhalten (bzw. Prämaßen) auf Ring $ \mathcal{R} $, $ \alpha_1,\alpha_2,\ldots $ Folge nicht-negativer Zahlen. $ \mu:=\summe_{n=1}^\infty \alpha_n\mu_n $ ist Inhalt (bzw. Prämaß) auf $ \mathcal{R} $

Attribute:
Ein Inhalt $ \mu $ heißt...

  • endlich $ :\gdw $ $ \mu(A)<+\infty $ für alle $ A\in\mathcal{R} $
  • $ \sigma $-endlich $ :\gdw $ Es existiert Folge $ (A_n)_{n\in\IN} $ von Mengen aus $ \mathcal{R} $ mit $ \bigcup_{n=1}^\infty A_n=\Omega $ und $ \mu(A_n)<\infty $ für alle $ n\in\IN $

Literatur: isbn3110136252

Erstellt: Mo 14.07.2008 von Marc
Letzte Änderung: Sa 02.08.2008 um 14:38 von Marc
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