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Partialbruchzerlegung
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Partialbruchzerlegung

Eine Partialbruchzerlegung findet häufig Anwendung in Verbindung mit Integralen und Transformationen aus dem Bildbereich.

Auch zur Konvergenz- bzw. Grenzwertbestimmung von Folge- und Reihengliedern kann man des öfteren diese Methode als Lösungsweg nehmen.

Zu Beginn betrachten wir allgemein eine gebrochen-rationale Funktion in x der Form $ f(x)=\bruch{Z(x)}{N(x)} $ mit dem Zählerpolynom $ Z(x) $ und dem Nennerpolynom $ N(x) $

Es ist hier jedoch schon zu prüfen, ob eine echt gebrochen-rationale Funktion vorliegt, das heißt, dass der Grad des Zählerpolynoms $ Z(x) $ kleiner als jener des Nennerpolynoms $ N(x) $ sein soll. Ist dies nicht der Fall, dann muss $ f(x) $ erst in diese Form gebracht werden; z.B. mit einer Polynomdivision.

Der echt gebrochen-rationale Term kann mit algebraischen Mittel dann in Teilbrüche, die sogenannten Partialbrüche, zerlegt werden. Ich führe hier einige Methoden an.

Zunächst müssen die Nullstellen des Nenners ermittelt werden, da für jede Nullstelle ein Partialbruch generiert wird.

Dieses stellt sich wie folgt dar:

$ x_0\ ist\ \text{einfache}\ Nullstelle\ \rightarrow\quad \bruch{A_1}{x-x_0} $

$ x_0\ ist\ \text{zweifache}\ Nullstelle\ \rightarrow\quad \bruch{A_1}{x-x_0}+\bruch{A_2}{(x-x_0)^2} $

$ x_0\ ist\ \text{k-fache}\ Nullstelle \rightarrow\quad \bruch{A_1}{x-x_0}+\bruch{A_2}{(x-x_0)^2}+...+\bruch{A_k}{(x-x_0)^k} $

Allgemeine Beschreibung:

$ f(x)=\bruch{Z(x)}{N(x)}=\bruch{A_1}{x-x_0}+\bruch{A_2}{(x-x_0)^2}+...+\bruch{A_{k-1}}{(x-x_0)^{k-1}}+\bruch{A_k}{(x-x_0)^k}=\sum_{i=1}^{k}\bruch{A_i}{(x-x_0)^{i}} $


Beispiel (gleiche Nullstellen): $ x_0=-2 $ ist 2-fache Nullstelle:


$ \bruch{3}{x^4+4x+4}=\bruch{A_1}{(x+2)}+\bruch{A_2}{(x+2)^2} $

Beispiel (unterschiedliche Nullstellen): $ x_0=-2 $ ist 2-fache Nullstelle und $ x_1=-3 $ ist 1-fache Nullstelle:


$ \bruch{3}{(x+3)\cdot{}(x^2+4x+4)}=\bruch{A_1}{x+3}+\bruch{A_2}{x+2}+\bruch{A_3}{(x+2)^2} $

Nun werden die Brüche auf den gemeinsamen Nenner erweitert und ein Koeffizientenvergleich durchgeführt oder es kann nach dem Einsetzen verschiedener Nullstellen der Gauß-Algorithmus angewendet werden.

Eine weitere Lösungsmöglichkeit bietet das Verfahren nach Heaviside


Hier folgt nun ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Es soll das unbestimmte Integral $ I:=\integral{\bruch{4x-2}{x^2-2x-35}\ dx} $ vereinfacht werden. Für die Vereinfachung benötigen wir die Nullstellen des Nenners:

Unter Verwendung der p-q-Formel erhält man für $ x_{1,2}=1\pm\wurzel{1+35}=1\pm 6\qquad \Rightarrow\qquad x_1=-5\quad und\quad x_2=7 $

Der Integrand lässt sich dann in der folgenden Form darstellen


$ \bruch{4x-2}{x^2-2x-35}=\bruch{A_1}{x+5}+\bruch{A_2}{x-7} $

Erweiterung auf den Hauptnenner und Betrachten der beiden Zähler:


$ 4x-2=A_1\cdot{}(x-7)+A_2\cdot{}(x+5)=(A_2+A_1)\cdot{}x+(5A_2-7A_1) $

Koeffizientenvergleich


$ \begin{matrix}
\ 4 &=& A_2+A_1 \\ 
\ -2 &=& 5A_2-7A_1
\end{matrix} $

Nach dem Einsetzverfahren wird für $ A_2=\bruch{13}{6} $ und für $ A_1=\bruch{11}{6} $ ermittelt



So lässt sich das Integral in die Teilintegrale zerlegen


$ I:=\integral{\bruch{4x-2}{x^2-2x-35}\ dx}=\bruch{11}{6}\cdot{}\integral{\bruch{1}{x+5}\ dx}+\bruch{13}{6}\cdot{}\integral{\bruch{1}{x-7}\ dx} $

und als Ergebnis kann


$ I=\bruch{11}{6}\cdot{}\ln|x+5|+\bruch{13}{6}\cdot{}\ln|x-7|+C\qquad (C\in\IR\ \wedge\ x\in\IR\ \backslash\{-5;7\}) $

mit Kenntnissen der Integrationsregeln unmittelbar abgelesen werden.



Komplexe Nullstellen

Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten können neben den reellen Lösungen auch Lösungen aus den komplexen Zahlen vorliegen. Diese treten dann jeweils konjugiert komplex auf. Nach oben angegeben Schema würde eine Partialbruchzerlegung wie folgt aussehen


Die Funktion $ f(x)=\bruch{3x^2+3x-6}{2x^3+2x^2-3x-18} $  besitzt im Nennerpolynom neben der reellen Nullstelle  $ x_0=2 $

zwei weitere komplexe Lösungen  $ x_{1,2}=-1,5\pm1,5i $



$ f(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{3x^2+3x-6}{x^3+x^2-1,5x-9}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left[\bruch{A}{x+1,5+1.5i}+\bruch{B}{x+1,5-1,5i}+\bruch{C}{x-2}\right] $

Hier bietet sich jedoch ein weitere möglicher Ansatz mit


$ f(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{3x^3+3x-6}{x^3+x^2-1,5x-9}=\bruch{1}{2}\cdot{}\left[\bruch{Ax+B}{x^2+3x+4,5}+\bruch{C}{x-2}\right] $

Somit wird bereits im Ansatz eine komplexe Darstellung umgangen.


Verallgemeinerung

Sei $ f(x)=\bruch{Z(x)}{N(x)}=\bruch{\summe_{i=1}^{m}{b_i x^i}}{\summe_{i=1}^{n}{a_i x^i}}\qquad mit\qquad a_n=1\ \wedge\ m<n $

Unter der Voraussetzung, dass

$ \summe_{i=1}^{r}{n_i}=n\qquad \wedge\qquad n_i=-x_i\quad f"ur\quad i=1,2,.... $

lässt sich das Nennerpolynom N(x) als Produkt darstellen

$ \summe_{i=1}^{n}{a_ix^i}=\produkt_{i=1}^{r}{(x+x_i)^{n_i}} $

Die zugehörige Partialbruchzerlegung lautet nun:

$ f(x)=b_m+\summe_{i=1}^{r}\summe_{k=1}^{n_i}\bruch{A_{ik}}{(x+x_i)^k}\quad mit\quad b_m=0\quad f"ur\quad m<n $

Die Koeffizienten $ A_{ik} $ lassen sich über den Entwicklungssatz nach Heaviside bestimmen.




zur MatheBank

Erstellt: Fr 24.11.2006 von Herby
Letzte Änderung: So 23.10.2011 um 00:28 von fencheltee
Weitere Autoren: Al-Chwarizmi, informix, Loddar, Marc
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