Quadratwurzel einer reellen Zahl

Definition Quadratwurzel einer reellen Zahl

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl (im Zeichen ) ist definiert als diejenige nichtnegative reelle Zahl (also ), so dass gilt.

In mathematischen Symbolen:
Für jedes , ist jene Zahl mit den folgenden zwei Eigenschaften:
1.)
2.) .

Die Zahl (oder den Term) unter dem Wurzelzeichen nennt man Radikand.

Beispiele.

1.) Es gilt , nicht aber .
Mit anderen Worten:
.

2.) Es gilt .

3.) .

Bemerkungen.

Quadratwurzel ohne TR: Quadratwurzelbestimmung

1.) In einem Quadrat der Seitenlänge 1 cm hat die Diagonale die Länge cm (nach Pythagoras).

2.) Wir führen den Beweis, dass keine rationale Zahl ist.
Beweis:
Angenommen, . Dann existieren , , so dass gilt:
.
O.B.d.A. können wir den Bruch als vollständig gekürzt annehmen.
Aus der Gleichung folgt:
.
Die letzte Gleichung impliziert, dass und damit auch gerade sein muss (beachte dabei: ).
(Denn: Ist ungerade, also (mit einem festen ), so gilt:
und wegen ist gerade, also ungerade! Folglich kann, wenn gerade ist, auch nur gerade sein!)
Weil wir nun (o.B.d.A.) den Bruch als vollständig gekürzt angenommen haben, folgt deswegen, dass ungerade sein muss. (Denn wären und beide gerade, so hätten sie ja den gemeinsamen Teiler , und damit wäre der Bruch nicht vollständig gekürzt.)

Falls also (mit und ) gilt, so müssen demnach gerade und ungerade sein. Es existieren also , so dass:
(I) und
(II) gelten.
Setzen wir (I) und (II) in ein, so folgt:

Nun ist aber und deswegen ist eine gerade Zahl. Andererseits ist und deswegen ist eine ungerade Zahl. Mit diesen Definition von bzw. gilt aber:


.

Die letzte Gleichung würde aber bedeuten, dass eine gerade Zahl mit einer ungeraden Zahl übereinstimmen würde. Das ist offenbar ein Widerspruch und der Beweis, dass gilt, ist hier zu Ende.    

3.) Man beachte, dass i.A. die Gleichungen
(1.) und
(2.) __ (für ein festes , ) nicht äquivalent sind. Für z.B. gilt stets, dass aus __(2.) die Gleichung (1.) folgt. Jedoch folgt aus der Gleichung (1.) nicht stets die Gleichung (2.), denn die Gleichung (1.) besitzt auch die Lösung , welche in (2.) nicht enthalten ist.

Es gelten aber, für (z.B.) , folgende äquivalente Umformungen der Gleichung (1.):

( ).