Vorhilfe Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen
	Einstieg

	Index aller Artikel

	Hilfe / Dokumentation
	Richtlinien
	Textgestaltung
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Teleskopsumme

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Teleskopsumme

Ist $(\IK,+,\cdot{})$ ein Körper und ist $(a_n)_{n \in \IN} \in \IK^{\IN}$ eine Folge in $\IK\,,$ so bezeichnen wir für $n \in \IN$ eine Summe der Form

$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)$

als Teleskopsumme.

Für eine solche gilt

$(*)\;\;\;\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)=\sum_{k=2}^{n+1} a_{k}\;- \sum_{k=1}^n a_k=a_{n+1}-a_1\,.$

Beispiel:
$\bullet$ Besonders nützlich ist die Teleskopsumme bei der Berechnung des Reihenwertes von $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\,.$ Für jedes $k\,$ gilt nämlich offenbar

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\equiv:a_k-a_{k+1}\,,$

so dass sich mit

folgendes ergibt

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)$

$\underset{(*)}{=}-\lim_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_1)=-\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n+1}-a_1\right)=-0-(-1)=1\,.$

Bemerkung:
Offenbar gibt es folgenden trivialen Zusammenhang zwischen einem endlichen Produkt und der Teleskopsumme:
Sind alle $a_n > 0\,,$ so folgt

$\blue{\ln(\frac{a_{n+1}}{a_1})=\ln(\produkt_{k=1}^n \frac{a_{k+1}}{a_k})=\sum_{k=1}^n (\ln(a_{k+1})-\ln(a_k))}=\ln(a_{n+1})-\ln(a_1)\,.$

Dabei wurde die Regel $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ für $a,b > 0\,$ angewendet; die interessante Beziehung dabei ist blaumarkiert, und sie ist interessant in der Anwendung, wenn man sie von rechts nach links benutzt.

Beispiel zur Bemerkung:
Man betrachte $\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})\,.$ Hier gilt

$\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})=\sum_{k=1}^n \ln(\tfrac{k+1}{k})=\sum_{k=1}^n (\ln(k+1)-\ln(k))=\ln(n+1)-\ln(1)=\ln(n+1)\,.$

Arbeitet man lieber mit Produkten, so kann man unter Verwendung des blaumarkierten Teils auch rechnen

$\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})=\sum_{k=1}^n \ln(\tfrac{k+1}{k})=\ln(\produkt_{k=1}^n \tfrac{k+1}{k})=\ln(\tfrac{n+1}{1})=\ln(n+1)\,.$

Hier wurde die Beziehung $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ für $a,b > 0\,$ verwendet.

Teleskopsummen verwendet man insbesondere, um Aussagen über Teleskopreihen erzielen zu können! Ferner nennt man eine Teleskopsumme auch Ziehharmonikasumme.

(Zudem: Siehe auch Teleskopverknüpfung.)

Erstellt: Mo 09.08.2010 von Marcel

Letzte Änderung: So 09.02.2014 um 22:09 von Marcel

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext