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Vielfachenmenge
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Vielfachenmenge

Die Vielfachenmenge ist die Menge aller (natürlichen) Vielfachen einer Zahl, z.B.

$ V_{3}=\{3,6,9,12,\ldots\} $

Manche Quellen behandeln die Null ebenfalls als Vielfache (jeder Zahl), dann lautet die obige Vielfachenmenge $ V_{3}=\{0,3,6,9,12,\ldots\} $. Dies hängt wohl davon ab, ob der jeweilige Autor unter den natürlichen Zahlen die Menge $ \IN=\{0,1,2,\ldots\} $ oder die Menge $ \IN=\{1,2,3,\ldots\} $ versteht. In diesem Artikel gilt: $ \IN=\{1,2,3,\ldots\} $

Formal läßt sich die Vielfachenmenge definieren als:


$ V_n:=\{x\in\IN\ :\ n|x\} $

(Dies wird so gelesen: Die Vielfachenmenge der Zahl $ n $ ist die Menge aller natürlichen Zahlen, von denen $ n $ ein Teiler ist.)

Mithilfe von Vielfachenmengen läßt sich leicht das kgV zweier Zahlen (das kleinste gemeinsame Vielfache) finden:

Beispiel: $ \kgV(5,7) $

Bilde zunächst $ V_5=\{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80\ldots\} $ und $ V_7=\{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,\ldots\} $.
Stelle dann die Schnittmenge auf: $ V_5\cap V_7=\{35,70,\ldots\} $.
Das $ \kgV(5,7) $ ist dann das kleinste Element dieser Schnittmenge, hier also 35.


Eigenschaften der Vielfachenmenge


  • Für alle n>0 ist n in ihrer Vielfachenmenge enthalten: $ n\in V_n $ für alle n>0
  • Das kleinste gemeinsame Vielfache ($ \kgV $) zweier Zahlen m und n ist das kleinste Element der Schnittmenge der beiden Vielfachenmengen: $ \kgV(m,n)=\min V_m\cap V_n $
  • m ist ein Teiler von n, genau dann wenn $ n\in V_m $

Siehe auch Teilermenge, kgV, ggT

Erstellt: So 01.10.2006 von Marc
Letzte Änderung: Fr 24.10.2008 um 14:22 von informix
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