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messbar

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messbar

Definition messbar

Die Mengen der $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ eines Messraums $(\Omega,\mathcal{A})$ werden messbare Mengen genannt.
Es sei $(\IR^n,\mathcal{B}_0^n,\lambda_0^n)$ die Vervollständigung des Lebesgue-Borelschen Maßraums $(\IR^n,\mathcal{B}^n,\lambda^n)$ . Dann heißen die Mengen aus $\mathcal{B}_0^n$ Lebesgue-messbar.
Es seien $(\Omega,\mathcal{A})$ und $(\Omega',\mathcal{A}')$ Messräume und $T:\ \Omega\to\Omega'$ eine Abbildung. T heißt ( $\mathcal{A}$ - $\mathcal{A}'$ )-messbar, wenn $T^{-1}(A')\in\mathcal{A}$ für alle $A'\in\mathcal{A}'$ )
Eine messbare Abbildung $T: (\Omega,\mathcal{B}^n)\to(\Omega,\mathcal{B}^{n'})$ zwischen Borelschen Messräumen heißt Borel-messbar.

Beispiele für messbare Abbildungen:

Jede konstante Abbildung $T:\ \Omega\to\Omega'$ ist $\mathcal{A}$ - $\mathcal{A}'$ -messbar
Jede stetige Abbildung $T:\ \IR^n\to\IR^{n'}$ ist Borel-messbar.

Sätze mit messbaren Abbildungen:

$(\Omega,\mathcal{A})$ , $(\Omega',\mathcal{A}')$ Messräume, $\mathcal{E}'$ Erzeuger von $\mathcal{A}'$ . Abbildung $T:\ \Omega\to\Omega'$ messbar $\gdw$ $T^{-1}(E')\in\mathcal{A}$ für alle $E'\in\mathcal{E}'$
$T_1:\ (\Omega_1,\mathcal{A}_1)\to(\Omega_2,\mathcal{A}_2)$ , $T_2:\ (\Omega_2,\mathcal{A}_2)\to(\Omega_3,\mathcal{A}_3)$ messbare Abbildungen $\Rightarrow$ $T_2\circ T_1$ ist $\mathcal{A}_1$ - $\mathcal{A}_3$ -messbar

Literatur: isbn3110136252

Erstellt: Mi 01.10.2008 von Marc

Letzte Änderung: Do 02.10.2008 um 23:09 von Marc

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