symmetrischeFunktion

Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Funktion) bzw.

Achsensymmetrie zur y-Achse (gerade Funktion) einer reellwertigen Funktion

Sei eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte.
Sei eine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich .
Die Funktion heißt:
- punktsymmetrisch zum Ursprung (oder ungerade) (auf ), falls für alle die Gleichung gilt
- achsensymmetrisch zur -Achse (oder gerade) (auf ), falls für alle die Gleichung gilt.

Beispiele.

1.) Die Funktion definiert durch ist ungerade. Es gilt nämlich für alle :
.

2.) Die Funktion       definiert durch ist gerade. Es gilt nämlich für alle :
, und damit insbesondere:
.

3.) Die Funktion definiert durch ist weder gerade noch ungerade.

Es gilt nämlich einerseits:

(etwa weil ) (d.h. ist nicht gerade),

und andererseits:

(etwa weil (d.h. ist nicht ungerade).

4.) Ist eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gilt,
und ist eine Funktion mit dem Definitionsbereich ,
die sowohl gerade als auch ungerade ist, so ist auf die Nullfunktion.
Denn:
Es gilt für alle :




.   

5.) Sei eine Menge mit der Eigenschaft, dass für alle auch gelte. Sei ferner .
Dann gilt:
Ist eine ungerade Funktion, so gilt .
Denn:




.