Extremwertaufgaben

Hier folgt eine Sammlung von Aufgaben,
bei denen jeweils nach einem Maximal- oder Minimalwert gefragt ist,
der sich aus geometrischen Gegebenheiten ableitet:

Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken so geschnitten werden,
dass der Abfall minimal wird.

Gegeben ist eine Kugel, deren  Radius 30 cm beträgt.
In die Kugel soll ein Zylinder mit größt möglichem Volumen eingesetzt werden.

Welches Volumen hat die größtmögliche Dose bei gegebener Oberfläche O=200 cm² ?
a) mit Deckel    -   b) ohne Deckel

Welche Abmessungen muss ein Zylinder mit dem Volumen V haben,
wenn seine Oberfläche O minimal sein soll?

Welche quadratische Pyramide gegebenen Volumens hat die kürzeste Seitenkante?

Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche das größte Volumen?

Eine Schachtel Zündhölzer hat die Maße: Länge l=5cm, Breite b=3,5cm, Höhe h=1,2cm.
Welche Maße müsste eine Streichholzschachtel haben, damit bei gleichem Volumen V und gleicher Streichholzlänge l der Materialverbrauch für beide Teile der Schachtel insgesamt möglichst klein wird.? (Größenunterschiede der Schachtel und Hülle sowie Kleberänder sollen vernachlässigt werden.)

a) Ermittle eine Zielfunktion für die Berechnung der minimalen Oberfläche.
b) Bestimme die Maße und Oberfläche der minimierten Schachtel für folgende Zielfunktion:

.

Eine Holzkugel mit Radius 4 cm soll so abgeschliffen werden, dass ein Kegel mit möglichst großem Volumen entsteht.

In die kegelförmige Spitze eines kreisrunden Turms (die Spitze ist 8 m hoch) mit einem Durchmesser 10m soll ein zylindrischer Wasserbehälter eingebaut werden.
Wie sind die Maße dieses Behälters zu wählen, damit er möglichst viel Wasser aufnehmen kann?

Ein Gefäß, dessen Gesamtvolumen 384* beträgt, besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Die Basiskreise des Zylinders und des Kegels sind gleich groß. Die Kegelhöhe beträgt 2/3 des Basisdurchmessers. Wie ist der Durchmesser und wie ist die Höhe des Gefäßes zu wählen, damit der Materialverbrauch minimal ist?

Berechnen Sie jenen Basiswinkel  , für den ein
gleichschenkeliges Dreieck mit dem Schenkel S den größten Flächeninhalt erhält.

Ein gleichschenkliges Dreieck. Die Winkel: 37°, 37° , 106°, Hypotenuse 20m
Bestimme das Rechteck, dessen Ecken auf dem Dreieck liegen und das die grösste Fläche einnimmt.

Ein rechteckiges Stück Pappe mit den Seitenlängen 20cm und 32cm, wird an den Ecken
parallel zu den Seiten angeschnitten, sodass daraus ein Kasten wird.

Berechne das größtmögliche Volumen des Kasten.

Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen a und b ist  vom Mittelpunkt  der kleineren Seite  aus eine Ecke  unter einem Winkel von 45°  abgesprungen.
Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zur den ursprünglichen Seiten  eine möglichst große Scheibe  hergestellt werden.

Ein Rechteck hat die Eckpunkte O(0/0), P(x/0), Q(x/y) und R(0/y).
Dabei liegt Q im 1. Feld auf der Geraden mit der Gleichung y=-2x+5.
Für welche Lage von Q hat es den größten Flächeninhalt?

Die Punkte A (-u|0), B (u|0), C (u|f(u)) und D(-u|f(-u),  , des Graphen
von f mit f(x)=-x²+9 bilden ein Rechteck.  
Für welches u wird der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD maximal? Wie groß ist der maximale Inhalt?

Ein zylinderförmiger Blechbecher soll ein Volumen von 1000 cm³ haben.
Wie groß muss man den Radius und die Höhe wählen, damit der Blechverbrauch möglichst gering ist?

In einen Kreiskegel mit R>0 und H>0 wird ein Zylinder einbeschrieben.
Gesucht ist der Zylinder mit einem extremalen(!) Oberflächeninhalt.

Aus einem 36cm langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.
Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?

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Aus einem 120 cm langen Draht ist ein Kantenmodell eines Quaders herzustellen,
so dass einen Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt ein Maximum ist.

Gegeben sei die Funktion .

Die Punkte A (0|0), B (x|f(x)) und C (-x|f(-x)) (x>0) bilden ein Dreieck.
Für welchen Wert von x ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal?

Gegeben ist die Funktion mit
Die Tangente im Kurvenpunkt P( a | f(a) ) mit 0<a<4 bildet zusammen mit der x-y-Achse ein Dreieck.
Wie muss P gewählt werden, damit der Inhalt des Dreiecks extremal wird?
Bestimmen Sie die Art des Extremums.

Verkürzt man in einem gleichschenkligen Dreieck die Grundseite um 8 cm und verlängert die Höhe um 3 cm, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichem Flächeninhalt.
Wie lang sind die Grundseite und Höhe des ursprünglichen Dreiecks?

LKW-Geschwindigkeit

Es war einmal ein Spediteur, der war einer der glücklichsten Spediteure weit und breit, denn er hatte seine Spedition nicht hierzulande, wo Zeitdruck, Staus, übermüdete Fahrer, überhöhte Geschwindigkeiten, Terminfracht, Akkordlöhne und schwankende Spritpreise einem das Leben schwer machen.
-NEIN, sein Zuhause war das Land Nirgendwonien, wo man nirgends mit solcherlei Belastungen belastet wird. Seine Fahrer sind die ausgeschlafensten Burschen überhaupt, die keinerlei Pausen benötigten. Waren mussten nur ankommen – auf die Transportzeit kam es nicht an. „Stau“ war ein Fremdwort, so dass die Fahrer ständig mit konstanter Geschwindigkeit fahren konnten, und der Preis für einen Liter Diesel betrug seit Jahren 1,20 EUR. Der Spediteur bezahlte seinen Fahrern auch keine Akkordlöhne; sie bekamen einen festen Stundenlohn. Im Fuhrpark des Spediteurs befanden sich nur LKW’s der Marke SMOG (Saubere Motoren Ohne Gestank), die bei konstanter Geschwindigkeit immer dasselbe verbrauchten – egal ob der Weg steil oder flach ist, ob Winter oder Sommer, Sonne oder Regen oder sonst was ist, so dass man – oh Wunder der Mathematik – die Verbrauchswerte einfach als Funktion der Geschwindigkeit notieren konnte.
Nur eines machten dem Spediteur zu schaffen: er war es leid, ständig Geld aus dem Fenster rauszuwerfen, da er noch nicht die kostengünstigste Fahrgeschwindigkeit herausgefunden hatte.  

Und um den Spediteur zum glücklichsten Menschen überhaupt zu machen, lösen Sie für Ihn dieses Problem.

1.Die Autobahnroute ist 500 km lang irgendwo in Nirgendwonien. Auch dort muss man auf Autobahnen zwischen 60 und 100 km/h fahren. Der Liter Diesel kostet, wie gesagt, 1,20 EUR, der Fahrer verdient tarifliche 16,875 EUR in der Stunde. Die Kosten hängen nur vom Verbrauch des Fahrers und vom Benzinverbrauch des LKW’s ab, der sich folgendermaßen errechnet(in Litern pro 100km): B(v) = 8 + v²/600 (v in km/h). Die Route soll möglichst kostengünstig gefahren werden.

2.Hängt die optimale Geschwindigkeit von der Entfernung E ab?

3.Ein absoluter Fahrerneuling verdient nur tarifliche 8,64 EUR in der Stunde. Allerdings zahlt der Spediteur für Neulinge eine Kilometerprämie von 10 EUR pro 100 km für unfallfreies fahren, was im Lande Nirgendwonien selbstverständlich ist. Er fährt die gleiche Route wie alle Fahrer.

4.Hängt hier die optimale Geschwindigkeit von der Entfernung ab, wo doch der Spediteur eine entfernungsabhängige Prämie zahlt?

Diese Aufgaben können als Übungsaufgaben verstanden werden;
wenn du die Aufgabe gelöst hast oder noch Fragen dazu stellen möchtest,
poste die Aufgabe und deine Lösungsideen im Matheraum.

Wie löst man solche MiniMaxAufgaben?

siehe auch Funktion, Ortskurve, Funktionen aus Eigenschaften, Steckbriefaufgaben

Hinweis: zur Kontrolle sollte die Funktion stets gezeichnet werden, z. B. mit FunkyPlot.