Funktionsuntersuchung2Untersuche die Funktion f mit
Die Funktion  ist nur dann definiert, wenn die Nennerfunktion  ist.
Wenn die Zählerfunktion  eine gemeinsame Nullstelle mit  hat, handelt es sich evtl. um eine hebbare Stelle, d.h. es gibt eine stetige Fortsetzung der Funktion .
Man erhält die möglichen Definitionslücken, indem man auf Nullstellen untersucht.
    
Es gilt  . D.h. die Definitionslücke könnte hebbar sein. Dazu müsste man der Funktion an für einen Wert zuweisen, so dass die Funktion in stetig ist.
Da , erkennt man leicht die Faktorisierung  .
Es wird also eine Fallunterscheidung durchgeführt für:
    
   
   
Damit erhält man auch folgende Darstellung der Funktion und kann entsprechend kürzen:
![$ f(x)= \frac{\left|(x+1)\cdot{}(x-3)\right|}{2\cdot{}(x+1)} = \begin{cases} \frac{[-(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x<-1 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{-(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = -\frac{x-3}{2} = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} , & \mbox{für } -1<x<+3 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[+(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} =\frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x\ge+3 \mbox{ } \end{cases} $](/teximg/9/2/00488529.png "$ f(x)= \frac{\left|(x+1)\cdot{}(x-3)\right|}{2\cdot{}(x+1)} = \begin{cases} \frac{[-(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x<-1 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[-(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{-(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} = -\frac{x-3}{2} = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} , & \mbox{für } -1<x<+3 \mbox{ } \\ \frac{[+(x+1)]\cdot{}[+(x-3)]}{2\cdot{}(x+1)} = \frac{(x+1)\cdot{}(x-3)}{2\cdot{}(x+1)} =\frac{x-3}{2} = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2} , & \mbox{für } x\ge+3 \mbox{ } \end{cases} $")
Also ist der Definitionsbereich von gegeben durch  , da dieser Wert als Nullstelle des Nenners ausgeschlossen werden muss.
Wie man bereits aus 1. weiß, handelt es sich bei dem Graphen von um eine Funktion aus insgesamt drei Geradenabschnitten.
Kritisch für die Stetigkeit sind hier lediglich die beiden Intervallgrenzen bei bzw.  .
An der Stelle existiert kein Funktionswert. Es wird jedoch überprüft, ob es sich hierbei um eine hebbare Definitionslücke handelt:
![$ \lim_{x \to -1\uparrow} f(x)= \lim_{x \to -1\uparrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=-2 $](/teximg/9/7/00488579.png "$ \lim_{x \to -1\uparrow} f(x)= \lim_{x \to -1\uparrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=-2 $")
![$ \lim_{x \to -1\downarrow} f(x)= \lim_{x \to -1\downarrow} \left[-\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=+2 $](/teximg/0/8/00488580.png "$ \lim_{x \to -1\downarrow} f(x)= \lim_{x \to -1\downarrow} \left[-\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(-1-3)=+2 $")
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle unterscheiden sich die Definitionslücke bei ist nicht hebbar; die Funktion ist bei unstetig.
Nun wird überprüft, ob an der Intervallgrenze Stetigkeit vorliegt:
![$ \lim_{x \to +3\uparrow} f(x)= \lim_{x \to +3\uparrow}\left[-\frac{1}{2}\cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0 $](/teximg/7/7/00488577.png "$ \lim_{x \to +3\uparrow} f(x)= \lim_{x \to +3\uparrow}\left[-\frac{1}{2}\cdot (x-3)\right]=-\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0 $")
![$ \lim_{x \to +3\downarrow} f(x) = \lim_{x \to +3\downarrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0=f(3) $](/teximg/8/7/00488578.png "$ \lim_{x \to +3\downarrow} f(x) = \lim_{x \to +3\downarrow} \left[\frac{1}{2} \cdot (x-3)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}(3-3)=0=f(3) $")
Die Funktion ist also an der Stelle  stetig.
Wie man bereits aus 1. weiß, handelt es sich bei dem Graphen von um eine Funktion aus insgesamt drei Geradenabschnitten.
Die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur  -Achse, da  noch punktsymmetrisch zum Ursprung wegen  .
4. Verhalten im Unendlichen
Die Funktion verhält sich für sehr große sowie sehr kleine  wie  , daher gilt:
 und 
Aus  .
Die 2. Nullstelle des Zählers bei entfällt als Nullstelle, da diese nicht im Definitionsbereich enthalten ist.
Damit hat als einzige Nullstelle: 
Die Funktion wird über den Intervallen  und  durch die ganzrationale Funktion  sowie im Intervall  durch  beschrieben und ist damit innerhalb dieser Intervalle stetig und beliebig oft differenzierbar.
Innerhalb der genannten Intervalle gilt also:
Da an der Stelle eine Unstetigkeitsstelle hat, ist sie dort auch nicht differenzierbar.
Es bleibt zu zeigen, dass auch für differenzierbar ist; sprich: der Differenzialquotient existiert.
Für den Grenzwert  gilt:
Die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) unterscheiden sich. Von daher ist die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar.
Für die weiteren Ableitungen gilt also auch wieder nur innerhalb der o.g. Intervalle:
Notwendige Bedingung für Extrempunkte  : Wegen  hat also keine Extremstellen.
Jedoch liegen an den Intervallgrenzen jeweils Randextrema vor, an deren Stelle keine horizontale Tangente vorliegt (siehe auch Skizze unten).
Notwendige Bedingung für Wendepunkte: 
Wegen kommen alle  in Frage.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: 
Wegen  läßt sich aus der hinreichenden Bedingung keine Aussage treffen. Damit wird es nötig  aus einen Vorzeichenwechsel zu untersuchen. Da konstant  ist - und damit keine Vorzeichenwechsel hat - gibt es keinen Wendepunkt.
9. Skizze
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