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Laplacetransformation_(elementare_Funktionen)
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Laplacetransformation (elementare Funktionen)

(1) Die Laplace-Transformation der $ \rho-Funktion $

Der Einheitssprung sei definiert durch:

$ \rho(t)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } t\ <\ 0 \\ 1 & \mbox{für } t\ \ge\ 0 \end{cases} $

da $ \rho(t)=1\quad \text{für}\ (t>0) $ gilt, ergibt sich die L-Transformierte zu


$ \mathcal{L}\left\{\rho (t)\right\}=\integral_{t=0}^{\infty}{\rho(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}=\integral_{t=0}^{\infty}{1\cdot{}e^{-st}\dt}=\left[-\bruch{1}{s}\cdot{}e^{-st}\right]_{t=0}^{\infty}=\bruch{1}{s} $




(2) Die Laplace-Transformation der $ e^{}-Funktion $

Die Transformierte lautet mit $ f(t)=e^{\alpha t}\quad (\alpha\ \in\ \IC) $


$ \mathcal{L}\left\{e^{\alpha(t)}\right\}=\integral_{t=0}^{\infty}{e^{\alpha t}\cdot{}e^{-st}\ dt}=\integral_{t=0}^{\infty}{e^{-(s-\alpha)t}\ dt}=\left[-\bruch{1}{(s-a)}\cdot{}e^{-(s-a)t}\right]_{t=0}^{\infty}=\frac1{s-a} $


(3) Die Laplace-Transformation der Rampenfunktion





(4) Die Laplace-Transformation der Rechteckfunktion




(5) Die Laplace-Transformierte der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion sei definiert durch:

$ f(t)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } t\ <\ 0 \\ \sin(t) & \mbox{für } t\ \ge\ 0 \end{cases} $

Unter Anwendung der partiellen Integration folgt für die L-Transformierte


$ \mathcal{L}\{\sin(t)\}=\integral^{\infty}_{t=0}{\sin{t}\cdot{}e^{-st}\ dt}=\left[-\bruch{e^{-st}}{s^2+1}\cdot{}(s\cdot{}\sin(t)+\cos(t)\right]_{t=0}^{\infty}=\frac1{s^2+1} $




zur Einführung der Laplacetransformation

Erstellt: Fr 17.11.2006 von Herby
Letzte Änderung: Fr 29.01.2010 um 07:36 von Herby
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