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Es sei $ G $ eine Gruppe. Man betrachte die Abbildung

$ \Phi \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & Aut(G) \\[5pt] x & \mapsto & \varphi_x, \end{array} $,

wobei $ Aut(G) $ die Automorphismengruppe von $ G $ und

$ \varphi_x \, : \, \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] b & \mapsto & xbx^{-1} \end{array} $

ein innerer Automorphismus sei.

$ \Phi $ ist ein Gruppenhomomorphismus:

Wegen

$ \varphi_{xy}(z) = xyz(xy)^{-1} = xyzy^{-1}x^{-1} = (\varphi_x \circ \varphi_y)(z) $

ist $ \varphi_{xy} = \varphi_x \circ \varphi_y $, d.h.

$ \Phi(xy) = \Phi(x) \circ \Phi(y) $.

Der Kern dieses Homomorphismus bestimmt sich zu

$ Kern(\Phi) = \{x \in G\, \vert\, \varphi_x=Id\} = \{x \in G\, \vert\, xyx^{-1} = y \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} = \{x \in G\, \vert\, xy=yx \quad \mbox{f"ur alle} \ y \in G\} $.

$ Kern(\Phi) $ wird häufig mit $ Z(G) $ bezeichnet und heißt das Zentrum von $ G $.

Das Zentrum "misst" den "Grad der Kommutativität" von $ G $. Es ist $ Z(G)=G $ genau dann, wenn $ G $ abelsch ist. Elemente $ u,\, v \in G $ heißen vertauschbar, wenn $ uv=vu $ gilt. Das Zentrum besteht also aus all den Elementen von $ G $, die mit jedem Element von $ G $ vertauschbar sind.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Mi 17.08.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mi 17.08.2005 um 10:47 von Stefan
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