www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Menge
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Menge

(Weitergeleitet von Durchschnitt)

Definition Menge

Zahlen oder andere unterscheidbare Objekte werden in der Mathematik zu einer Menge zusammengefasst.


Beispiele

aufzählende Form:$ M = \{3,6,9,12\} $

beschreibende Form:  $ M = \{x \in \IR| x= 3y \wedge 0<y<5\} $


Definition Teilmenge

Werden aus einer Menge $ M = \{3,6,9,12\} $ einige Elemente zu einer neuen Menge $ N = \{3,12\} $ zusammengefasst, so nennt man N eine Teilmenge von M und schreibt: $ N \subset M $.
Die leere Menge ist per Definition stets Teilmenge jeder anderen Menge: $ \{ \} \subset M $.
Jede Menge ist aber auch Teilmenge von sich selbst: $ M \subset M $.

$ \wedge $ bedeutet: "und zugleich"


Bezeichnung

Die Menge, die kein Element enthält heißt leere Menge und wird mit $ \{ \} $ oder mit $ \emptyset $ bezeichnet.


Durchschnitt

Unter dem Durchschnitt (der Schnittmenge) von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in beiden Mengen zugleich enthalten sind (in A und B):
Seien $ A=\{1,2,3,4\} $ und $ B=\{2,4,5,6\} $ gegeben, dann ist $ A\cap B=\{2,4\} $ der Durchschnitt (die Schnittmenge) der beiden Mengen.


Vereinigung

Unter der Vereinigung von zwei Mengen versteht man die Menge der Elemente, die in (mind.) einer der beiden Mengen enthalten sind (in A oder B):
Seien $ A=\{1,2,3,4\} $ und $ B=\{2,4,5,6\} $ gegeben, dann ist $ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\} $ der Vereinigung der beiden Mengen.



siehe auch: [link]Wikipedia

Universität

Naive Betrachtungen:

Es werden im allgemeinen mit großen Buchstaben $ A,\, B,\, X,\, Y, \ldots $ Mengen und mit kleinen Buchstaben $ a,\, b,\, x,\, y,\ldots $ Elemente aus Mengen bezeichnet. Eine endliche Menge A wird vorzugsweise durch Angabe aller ihrer Elemente beschrieben, $ A=\{a_1,\, a_2, \ldots,a_n\} $. Sehr üblich ist auch die Charakterisierung einer Menge X durch Angabe einer Eigenschaft E, die genau allen Elementen von X zukommt,

$ X=\{x \, \vert\, x\ \ \mbox{\scriptsize hat die Eigenschaft}\  E\} $

Die leere Menge wird mit $ \emptyset $ bezeichnet.

Ist ein Objekt x Element einer Menge A (kürzer: x ist in A, bzw. x ist aus A), dann bezeichnen wir das durch $ x \in A $, gelegentlich auch $ A \ni x $. Andernfalls, also wenn x nicht in A ist, schreiben wir $ x \notin A $.

$ A \subseteq B $ bedeutet, dass A eine Teilmenge von B ist, d.h. jedes x aus A ist auch in B. $ B \supseteq A $ bedeutet dasselbe wie $ A \subseteq B $.

Die Gleichheit von Mengen, A=B, ist durch $ A \subseteq B $ und $ B \subseteq A $ definiert. Um also A=B nachzuweisen, ist stets zu zeigen: $ x \in A \Leftrightarrow x \in B $.

Ist A eine echte Teilmenge von B, d.h. $ A \subseteq B $, aber $ A \ne B $, dann kennzeichnen wir das durch $ A \subset B $. Man achte sorgfältig auf den Unterschied der Zeichen $ \in $, $ \subseteq $ und $ \subset $. Es ist $ x \in A \Leftrightarrow \{x\} \subseteq A $, außerdem ist bei $ A \subseteq B $ durchaus A=B möglich, bei $ A \subset B $ gibt es ein $ b \in B $, das nicht in A liegt, $ b \notin A $.

Natürlich können auch Mengen als Elemente in einer Menge vorkommen, so in der Potenzmenge P(A) einer Menge A. Es ist

$ P(A):=\{B\, \vert \, B \subseteq A\} $.

Ist $ {\cal M} $ eine Menge von Mengen, dann bezeichnen wir den Durchschnitt alles Mengen aus $ {\cal M} $ mit

$ \bigcap\limits_{{\cal M}} = \bigcap\limits_{A \in {\cal M}} A = \{x \, \vert \,x \in A \ \mbox{\scriptsize für alle} \ A \in {\cal M}\} $.

Entsprechend für die Vereinigung

$ \bigcup\limits_{{\cal M}}= \bigcup\limits_{A \in {\cal M}}A = \{x \, \vert \, x \in A \ \mbox{\scriptsize für wenigstens ein} \ A \in {\cal M}\} $.

Ist $ {\cal M} $ endlich, $ {\cal M}=\{A_1,\ldots,A_n\} $, dann sind auch die Bezeichnungen $ \bigcap\limits_{i=1}^n A_i = \bigcap\limits_{1 \le i \le n}A_i = A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n $ üblich. Für die Vereinigung gilt das analog.

Im Falle $ X \cap Y = \emptyset $ heißen X und Y disjunkt.

Als relatives Komplement von B in A wird die Menge

$ A \setminus B =\{x \in A\, \vert \, x \notin B\} $

bezeichnet.

Das direkte oder cartesische Produkt der Mengen $ A_1,\ldots,A_n $ ist

$ A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n =\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\, \vert \, a_i \in A_i \ (1 \le i \le n)\} $,

wobei darauf zu achten ist, dass $ (a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_n) $ genau dann gilt, wenn $ a_i=b_i $ $ (1 \le i \le n) $.

Falls $ A_i=A $ gilt für alle i $ (1 \le i \le n) $, dann schreiben wir für das Produkt auch $ A^n $

$ A^n = A \times A \times \ldots \times A $   (n Faktoren).

Die Mächtigkeit einer Menge A wird mir $ \vert A\vert $ bezeichnet. Also $ \vert A \vert=n $, wenn A aus n (verschiedenen) Elementen besteht.

Es ist

$ |A_1 \times A_2| = |A_1| \cdot |A_2| $,

und für die Potenzmenge P(A) von A gilt:

$ |P(A)|=2^{|A|} $.

Für die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null), natürlichen Zahlen zusammen mit der Null, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen werden die folgenden Standardbezeichnungen verwendet:

$ \IN, \, \IN_0,\, \IZ,\, \IQ,\, \IR,\, \IC $.


Quelle: isbn3446130799

Attribute von Mengen:

abgeschlossen
abzählbar
beschränkt
dicht
endlich
leer
kompakt
messbar: Wenn sie in der Sigma-Algebra eines Messraumes enthalten ist.
offen
perfekt: Eine Teilmenge von $ \IR $ heißt perfekt, wenn sie gleich der Menge ihrer Häufungspunkte ist.
überabzählbar: nicht abzählbar
unendlich
zusammenhängend

Erstellt: Sa 30.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mi 01.10.2008 um 21:18 von Marc
Weitere Autoren: Marcel, Stefan
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]