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Winkelfunktion

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Winkelfunktion

(Weitergeleitet von Sinus)

Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)

Schule

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:

$\sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Dabei ist die Strecke $\overline{AC}$ die Ankathete zum Winkel $\alpha$
und die Strecke $\overline{BC}$ die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ .

Definition am Einheitskreis

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $\alpha$ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $\alpha$ und Kosinus $\alpha$ in ein Koordinatenkreuz übertragen.

Sinusfunktion:

Kosinusfunktion:

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $|y| \le 1$ ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit $\pi$ = Kreiszahl = 3.1415926...:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array}$

Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $2\cdot{}\pi$ .
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.

Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz $\IR$ ist.